미적분 예제

$R' (x) = 4 x {(x^{2} + 27000)}^{- \frac{2}{3}}$

단계 1

함수 $R (x)$ 는 도함수 $R' (x)$ 의 부정적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$R (x) = \int R' (x) d x$

단계 2

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 \int x {(x^{2} + 27000)}^{- \frac{2}{3}} d x$

단계 3

먼저 $u = x^{2} + 27000$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1

$u = x^{2} + 27000$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$x^{2} + 27000$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 27000]$

단계 3.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 27000$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27000]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27000]$

단계 3.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [27000]$

단계 3.1.4

$27000$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $27000$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $27000$ 입니다.

$2 x + 0$

단계 3.1.5

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 3.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$4 \int u^{- \frac{2}{3}} \frac{1}{2} d u$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$u^{- \frac{2}{3}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$4 \int \frac{u^{- \frac{2}{3}}}{2} d u$

단계 4.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $u^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$4 \int \frac{1}{2 u^{\frac{2}{3}}} d u$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u)$

단계 6

식을 간단히 합니다.

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단계 6.1

간단히 합니다.

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단계 6.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

단계 6.1.2

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.1.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

단계 6.1.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.1.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

단계 6.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

단계 6.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

단계 6.1.2.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

단계 6.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 6.2.1

$u^{\frac{2}{3}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$2 \int {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

단계 6.2.2

${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 6.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 \int u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

단계 6.2.2.2

$\frac{2}{3} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.2.2.1

$\frac{2}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$2 \int u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

단계 6.2.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 \int u^{\frac{- 2}{3}} d u$

단계 6.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 \int u^{- \frac{2}{3}} d u$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{2}{3}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $3 u^{\frac{1}{3}}$ 가 됩니다.

$2 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$2 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$ 을 $2 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$

단계 8.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 u^{\frac{1}{3}} + C$

단계 9

$u$ 를 모두 $x^{2} + 27000$ 로 바꿉니다.

$6 {(x^{2} + 27000)}^{\frac{1}{3}} + C$

단계 10

$R$ 가 함수의 도함수 적분에서 구한 함수인 경우, 미적분학의 기본 정리에 따라 유효합니다.

$R (x) = 6 {(x^{2} + 27000)}^{\frac{1}{3}} + C$