미적분 예제

$s' (t) = t {(t - 1)}^{2}$

단계 1

함수 $s (t)$ 는 도함수 $s' (t)$ 의 부정적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$s (t) = \int s' (t) d t$

단계 2

먼저 $u = t - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u = t - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$t - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [t - 1]$

단계 2.1.2

합의 법칙에 의해 $t - 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.1.4

$- 1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int (u + 1) u^{2} d u$

단계 3

$(u + 1) u^{2}$ 을 전개합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int u \cdot u^{2} + 1 u^{2} d u$

단계 3.2

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int u^{1} u^{2} + 1 u^{2} d u$

단계 3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{1 + 2} + 1 u^{2} d u$

단계 3.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int u^{3} + 1 u^{2} d u$

단계 3.5

$u^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int u^{3} + u^{2} d u$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int u^{3} d u + \int u^{2} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{3}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} u^{4}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int u^{2} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

단계 7

간단히 합니다.

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{1}{3} u^{3} + C$

단계 8

$u$ 를 모두 $t - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} {(t - 1)}^{4} + \frac{1}{3} {(t - 1)}^{3} + C$

단계 9

$s$ 가 함수의 도함수 적분에서 구한 함수인 경우, 미적분학의 기본 정리에 따라 유효합니다.

$s (t) = \frac{1}{4} \cdot {(t - 1)}^{4} + \frac{1}{3} \cdot {(t - 1)}^{3} + C$