미적분 예제

$\sin^{5} (x)$

단계 1

$\sin^{5} (x)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \sin^{5} (x)$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \sin^{5} (x) d x$

단계 4

$\sin^{4} (x)$ 로 인수분해합니다.

$\int \sin^{4} (x) \sin (x) d x$

단계 5

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) d x$

단계 5.2

${\sin (x)}^{2 (2)}$ 을 지수 형태로 바꿔 씁니다.

$\int {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

단계 6

피타고라스 항등식을 이용하여 $\sin^{2} (x)$ 를 $1 - \cos^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

단계 7

먼저 $u = \cos (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \sin (x) d x$ 이므로 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$u = \cos (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$\cos (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 7.1.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- \sin (x)$

단계 7.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int - {(1 - u^{2})}^{2} d u$

단계 8

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int {(1 - u^{2})}^{2} d u$

단계 9

${(1 - u^{2})}^{2}$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

${(1 - u^{2})}^{2}$ 을 $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$- \int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

단계 9.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- \int 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

단계 9.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- \int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

단계 9.4

분배 법칙을 적용합니다.

$- \int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

단계 9.5

$u^{2}$ 를 옮깁니다.

$- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

단계 9.6

$u^{2}$ 를 옮깁니다.

$- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

단계 9.7

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \int 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

단계 9.8

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \int 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

단계 9.9

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

단계 9.10

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

단계 9.11

$u^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

단계 9.12

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

단계 9.13

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

단계 9.14

$- u^{2}$ 에서 $u^{2}$ 을 뺍니다.

$- \int 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

단계 9.15

$- 2 u^{2}$ 와 $u^{4}$ 을 다시 정렬합니다.

$- \int 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

단계 9.16

$1$ 를 옮깁니다.

$- \int u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

단계 10

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$- (\int u^{4} d u + \int - 2 u^{2} d u + \int d u)$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $u^{4}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} u^{5}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - 2 u^{2} d u + \int d u)$

단계 12

$- 2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 \int u^{2} d u + \int d u)$

단계 13

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u)$

단계 14

상수 규칙을 적용합니다.

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C)$

단계 15

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $u^{3}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

단계 15.1.2

$\frac{1}{5}$ 와 $u^{5}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{u^{5}}{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

단계 15.2

간단히 합니다.

$- (\frac{u^{5}}{5} - \frac{2 u^{3}}{3} + u) + C$

단계 16

$u$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$- (\frac{\cos^{5} (x)}{5} - \frac{2 \cos^{3} (x)}{3} + \cos (x)) + C$

단계 17

항을 다시 정렬합니다.

$- (\frac{1}{5} \cos^{5} (x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$

단계 18

답은 함수 $f (x) = \sin^{5} (x)$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $- (\frac{1}{5} \cos^{5} (x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$