미적분 예제

$f (x) = e^{7 x} + 5 \sec^{2} (3 x)$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int e^{7 x} + 5 \sec^{2} (3 x) d x$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int e^{7 x} d x + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

단계 4

먼저 $u_{1} = 7 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 7 d x$ 이므로 $\frac{1}{7} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u_{1} = 7 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$7 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [7 x]$

단계 4.1.2

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$7 \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 \cdot 1$

단계 4.1.4

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7$

단계 4.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{7} d u_{1} + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

단계 5

$e^{u_{1}}$ 와 $\frac{1}{7}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{e^{u_{1}}}{7} d u_{1} + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

단계 6

$\frac{1}{7}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{7}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{7} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

단계 7

$e^{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

단계 8

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int \sec^{2} (3 x) d x$

단계 9

먼저 $u_{2} = 3 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$u_{2} = 3 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$3 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

단계 9.1.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 9.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 9.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 9.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

단계 10

$\sec^{2} (u_{2})$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int \frac{\sec^{2} (u_{2})}{3} d u_{2}$

단계 11

$\frac{1}{3}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 (\frac{1}{3} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

단계 12

$\frac{1}{3}$ 와 $5$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + \frac{5}{3} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

단계 13

$\tan (u_{2})$ 의 도함수는 $\sec^{2} (u_{2})$ 이므로, $\sec^{2} (u_{2})$ 의 적분값은 $\tan (u_{2})$ 이 됩니다.

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + \frac{5}{3} (\tan (u_{2}) + C)$

단계 14

간단히 합니다.

$\frac{1}{7} e^{u_{1}} + \frac{5}{3} \tan (u_{2}) + C$

단계 15

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$u_{1}$ 를 모두 $7 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{7} e^{7 x} + \frac{5}{3} \tan (u_{2}) + C$

단계 15.2

$u_{2}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{7} e^{7 x} + \frac{5}{3} \tan (3 x) + C$

단계 16

답은 함수 $f (x) = e^{7 x} + 5 \sec^{2} (3 x)$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{1}{7} e^{7 x} + \frac{5}{3} \tan (3 x) + C$