미적분 예제

$f (x) = \frac{4}{x} + \frac{6}{\sqrt{x}} + \frac{7}{x^{2}}$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{4}{x} + \frac{6}{\sqrt{x}} + \frac{7}{x^{2}} d x$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{4}{x} d x + \int \frac{6}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

단계 4

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{6}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

단계 5

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$4 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{6}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

단계 6

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

단계 7

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

단계 7.2

$x^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

단계 7.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

단계 7.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

단계 7.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{7}{x^{2}} d x$

단계 9

$7$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $7$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 10

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 10.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 10.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 10.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 \int x^{- 2} d x$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$4 (\ln (| x |) + C) + 6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 (- x^{- 1} + C)$

단계 12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

간단히 합니다.

$4 \ln (| x |) + 12 x^{\frac{1}{2}} + 7 (- x^{- 1}) + C$

단계 12.2

$- 1$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$4 \ln (| x |) + 12 x^{\frac{1}{2}} - 7 x^{- 1} + C$

단계 13

답은 함수 $f (x) = \frac{4}{x} + \frac{6}{\sqrt{x}} + \frac{7}{x^{2}}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $4 \ln (| x |) + 12 x^{\frac{1}{2}} - 7 x^{- 1} + C$