미적분 예제

$f (x) = \frac{6 x^{5} - 17 x^{4} + 9 x^{3} + 10 x^{2}}{x^{3}}$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{6 x^{5} - 17 x^{4} + 9 x^{3} + 10 x^{2}}{x^{3}} d x$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$6 x^{5} - 17 x^{4} + 9 x^{3} + 10 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.1.1

$6 x^{5}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3}) - 17 x^{4} + 9 x^{3} + 10 x^{2}}{x^{3}} d x$

단계 3.1.2

$- 17 x^{4}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3}) + x^{2} (- 17 x^{2}) + 9 x^{3} + 10 x^{2}}{x^{3}} d x$

단계 3.1.3

$9 x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3}) + x^{2} (- 17 x^{2}) + x^{2} (9 x) + 10 x^{2}}{x^{3}} d x$

단계 3.1.4

$10 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3}) + x^{2} (- 17 x^{2}) + x^{2} (9 x) + x^{2} \cdot 10}{x^{3}} d x$

단계 3.1.5

$x^{2} (6 x^{3}) + x^{2} (- 17 x^{2})$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2}) + x^{2} (9 x) + x^{2} \cdot 10}{x^{3}} d x$

단계 3.1.6

$x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2}) + x^{2} (9 x)$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x) + x^{2} \cdot 10}{x^{3}} d x$

단계 3.1.7

$x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x) + x^{2} \cdot 10$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x + 10)}{x^{3}} d x$

단계 3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1

$x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x + 10)}{x^{2} x} d x$

단계 3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x + 10)}{x^{2} x} d x$

단계 3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x + 10}{x} d x$

단계 4

$6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x + 10$ 을 $x$ 로 나눕니다.

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단계 4.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$0$

$6 x^{3}$

$17 x^{2}$

$9 x$

$10$

단계 4.2

피제수 $6 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$6 x^{2}$
	$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$

단계 4.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$6 x^{2}$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			+	$6 x^{3}$	+	$0$

단계 4.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $6 x^{3} + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$6 x^{2}$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$

단계 4.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$6 x^{2}$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$

단계 4.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$6 x^{2}$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$

단계 4.7

피제수 $- 17 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$6 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$

단계 4.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$6 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$17 x^{2}$	+	$0$

단계 4.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 17 x^{2} + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$6 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$

단계 4.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$6 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$

단계 4.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$6 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$10$

단계 4.12

피제수 $9 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$6 x^{2}$	-	$17 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$10$

단계 4.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$6 x^{2}$	-	$17 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$10$
							+	$9 x$	+	$0$

단계 4.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $9 x + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$6 x^{2}$	-	$17 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$10$
							-	$9 x$	-	$0$

단계 4.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$6 x^{2}$	-	$17 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$10$
							-	$9 x$	-	$0$
									+	$10$

단계 4.16

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int 6 x^{2} - 17 x + 9 + \frac{10}{x} d x$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 6 x^{2} d x + \int - 17 x d x + \int 9 d x + \int \frac{10}{x} d x$

단계 6

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 \int x^{2} d x + \int - 17 x d x + \int 9 d x + \int \frac{10}{x} d x$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 17 x d x + \int 9 d x + \int \frac{10}{x} d x$

단계 8

$- 17$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 17$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 17 \int x d x + \int 9 d x + \int \frac{10}{x} d x$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 17 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 9 d x + \int \frac{10}{x} d x$

단계 10

상수 규칙을 적용합니다.

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 17 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 9 x + C + \int \frac{10}{x} d x$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 17 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 9 x + C + \int \frac{10}{x} d x$

단계 11.2

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 17 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 9 x + C + \int \frac{10}{x} d x$

단계 12

$10$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $10$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 17 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 9 x + C + 10 \int \frac{1}{x} d x$

단계 13

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 17 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 9 x + C + 10 (\ln (| x |) + C)$

단계 14

간단히 합니다.

$2 x^{3} - \frac{17 x^{2}}{2} + 9 x + 10 \ln (| x |) + C$

단계 15

항을 다시 정렬합니다.

$2 x^{3} - \frac{17}{2} x^{2} + 9 x + 10 \ln (| x |) + C$

단계 16

답은 함수 $f (x) = \frac{6 x^{5} - 17 x^{4} + 9 x^{3} + 10 x^{2}}{x^{3}}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $2 x^{3} - \frac{17}{2} x^{2} + 9 x + 10 \ln (| x |) + C$