미적분 예제

$f (x) = \frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}}$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}} d x$

단계 3

$x^{6}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int (5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) {(x^{6})}^{- 1} d x$

단계 4

${(x^{6})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int (5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) x^{6 \cdot - 1} d x$

단계 4.2

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int (5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) x^{- 6} d x$

단계 5

$(5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) x^{- 6}$ 을 전개합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (5 - 4 x^{3}) x^{- 6} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{3} x^{- 6} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

단계 5.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{3 - 6} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

단계 5.4

$3$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

단계 5.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 x^{6 - 6} d x$

단계 5.6

$6$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 x^{0} d x$

단계 5.7

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 \cdot 1 d x$

단계 5.8

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 d x$

단계 5.9

$5 x^{- 6}$ 와 $- 4 x^{- 3}$ 을 다시 정렬합니다.

$\int - 4 x^{- 3} + 5 x^{- 6} + 2 d x$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int - 4 x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

단계 7

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 4 \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x^{- 3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 가 됩니다.

$- 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$x^{- 2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

단계 9.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

단계 10

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 \int x^{- 6} d x + \int 2 d x$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $x^{- 6}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ 가 됩니다.

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C) + \int 2 d x$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

$x^{- 5}$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{x^{- 5}}{5} + C) + \int 2 d x$

단계 12.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 5}$ 를 분모로 이동합니다.

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + \int 2 d x$

단계 13

상수 규칙을 적용합니다.

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + 2 x + C$

단계 14

간단히 합니다.

$\frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{x^{5}} + 2 x + C$

단계 15

답은 함수 $f (x) = \frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{x^{5}} + 2 x + C$