미적분 예제

$f (x) = (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x)$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x) d x$

단계 3

먼저 $u_{2} = \cot (π x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - π \csc^{2} (π x) d x$ 이므로 $- \frac{1}{π} d u_{2} = \csc^{2} (π x) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1

$u_{2} = \cot (π x)$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$\cot (π x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\cot (π x)]$

단계 3.1.2

$f (x) = \cot (x)$ , $g (x) = π x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $π x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

단계 3.1.2.2

$\cot (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \csc^{2} (u_{1})$ 입니다.

$- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

단계 3.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $π x$ 로 바꿉니다.

$- \csc^{2} (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

단계 3.1.3

미분합니다.

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단계 3.1.3.1

$π$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $π x$ 의 미분은 $π \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \csc^{2} (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \csc^{2} (π x) (π \cdot 1)$

단계 3.1.3.3

식을 간단히 합니다.

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단계 3.1.3.3.1

$π$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \csc^{2} (π x) π$

단계 3.1.3.3.2

$- \csc^{2} (π x) π$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- π \csc^{2} (π x)$

단계 3.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int (- π - e^{u_{2}}) \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

단계 4

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\int (- π - e^{u_{2}}) \frac{1}{π} d u_{2}$

단계 5

$\frac{1}{π}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{π}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{π} \int - π - e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{π} (\int - π d u_{2} + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

단계 7

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

단계 8

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

단계 9

$e^{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C - (e^{u_{2}} + C))$

단계 10

간단히 합니다.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} - e^{u_{2}}) + C$

단계 11

$u_{2}$ 를 모두 $\cot (π x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{π} (- π \cot (π x) - e^{\cot (π x)}) + C$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{π} (- π \cot (π x)) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

단계 12.2

$π$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.2.1

$- π \cot (π x)$ 에서 $π$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{π} (π (- \cot (π x))) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

단계 12.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{π} (π (- \cot (π x))) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

단계 12.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \cot (π x) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

단계 12.3

$\frac{1}{π}$ 와 $e^{\cot (π x)}$ 을 묶습니다.

$- \cot (π x) - \frac{e^{\cot (π x)}}{π} + C$

단계 13

항을 다시 정렬합니다.

$- \cot (π x) - \frac{1}{π} e^{\cot (π x)} + C$

단계 14

답은 함수 $f (x) = (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x)$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $- \cot (π x) - \frac{1}{π} e^{\cot (π x)} + C$