미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{4} \cdot \sin^{2} (2 x)$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{1}{4} \cdot \sin^{2} (2 x) d x$

단계 3

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} \int \sin^{2} (2 x) d x$

단계 4

먼저 $u_{1} = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u_{1} = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 4.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 4.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 4.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{4} \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 5

$\sin^{2} (u_{1})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} \int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 7.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{8} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 8

반각 공식을 이용해 $\sin^{2} (u_{1})$ 를 $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{8} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{8}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 8} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

단계 10.2

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{16} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

단계 11

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{16} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

단계 12

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{16} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

단계 13

$- 1$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

단계 14

먼저 $u_{2} = 2 u_{1}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.1

$2 u_{1}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

단계 14.1.2

$2$ 은 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로 $u_{1}$ 에 대한 $2 u_{1}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

단계 14.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 14.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 14.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

단계 15

$\cos (u_{2})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

단계 16

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

단계 17

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\sin (u_{2})$ 입니다.

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

단계 18

간단히 합니다.

$\frac{1}{16} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

단계 19

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

단계 19.2

$u_{2}$ 를 모두 $2 u_{1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

단계 19.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 (2 x))) + C$

단계 20

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.1.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x)) + C$

단계 20.1.2

$\sin (4 x)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

단계 20.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{16} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

단계 20.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.3.1

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 (8)} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

단계 20.3.2

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 (8)} (2 (x)) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

단계 20.3.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 8} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

단계 20.3.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{8} x + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

단계 20.4

$\frac{1}{8}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{8} + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

단계 20.5

$\frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.5.1

$\frac{1}{16}$ 에 $\frac{\sin (4 x)}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (4 x)}{16 \cdot 2} + C$

단계 20.5.2

$16$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (4 x)}{32} + C$

단계 21

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin (4 x) + C$

단계 22

답은 함수 $f (x) = \frac{1}{4} \cdot \sin^{2} (2 x)$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin (4 x) + C$