미적분 예제

$g (t) = \frac{1 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$

단계 1

함수 $G (t)$ 는 도함수 $g (t)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$G (t) = \int g (t) d t$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$G (t) = \int \frac{1 + t + t^{2}}{\sqrt{t}} d t$

단계 3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{t}$ 을(를) $t^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \frac{1 + t + t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

단계 4

$t^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int (1 + t + t^{2}) {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

단계 5

${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int (1 + t + t^{2}) t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

단계 5.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\int (1 + t + t^{2}) t^{\frac{- 1}{2}} d t$

단계 5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int (1 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

단계 6

$(1 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}}$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (1 + t) t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int 1 t^{- \frac{1}{2}} + t \cdot t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

단계 6.3

$t^{- \frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t \cdot t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

단계 6.4

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{1} t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

단계 6.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{1 - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

단계 6.6

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

단계 6.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2 - 1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

단계 6.8

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

단계 6.9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 - \frac{1}{2}} d t$

단계 6.10

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

단계 6.11

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

단계 6.12

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d t$

단계 6.13

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.13.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{4 - 1}{2}} d t$

단계 6.13.2

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{3}{2}} d t$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $t^{- \frac{1}{2}}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $2 t^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $t^{\frac{1}{2}}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $t^{\frac{3}{2}}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

단계 11

간단히 합니다.

$2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

단계 12

답은 함수 $g (t) = \frac{1 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$ 의 역도함수입니다.

$G (t) =$ $2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$