미적분 예제

$3 x^{4} + 4 x^{3}$

단계 1

$3 x^{4} + 4 x^{3}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{4} + 4 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

단계 2.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{4}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

단계 2.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

단계 2.1.2.3

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{3} + 4 (3 x^{2})$

단계 2.1.3.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2}$

단계 2.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $12 x^{3} + 12 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

단계 2.2.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x^{3}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

단계 2.2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

단계 2.2.2.3

$3$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

단계 2.2.3

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x^{2}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$36 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$36 x^{2} + 12 (2 x)$

단계 2.2.3.3

$2$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x$

단계 2.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $36 x^{2} + 24 x$ 입니다.

$36 x^{2} + 24 x$

단계 3

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $36 x^{2} + 24 x = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$36 x^{2} + 24 x = 0$

단계 3.2

$36 x^{2} + 24 x$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$36 x^{2}$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (3 x) + 24 x = 0$

단계 3.2.2

$24 x$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (3 x) + 12 x (2) = 0$

단계 3.2.3

$12 x (3 x) + 12 x (2)$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (3 x + 2) = 0$

단계 3.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$3 x + 2 = 0$

단계 3.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 3.5

$3 x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$3 x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 x + 2 = 0$

단계 3.5.2

$3 x + 2 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$3 x = - 2$

단계 3.5.2.2

$3 x = - 2$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.2.1

$3 x = - 2$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

단계 3.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

단계 3.5.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 2}{3}$

단계 3.5.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{2}{3}$

단계 3.6

$12 x (3 x + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

단계 4

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ 에 $0$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = 3 {(0)}^{4} + 4 {(0)}^{3}$

단계 4.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 3 \cdot 0 + 4 {(0)}^{3}$

단계 4.1.2.1.2

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 4 {(0)}^{3}$

단계 4.1.2.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 + 4 \cdot 0$

단계 4.1.2.1.4

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0$

단계 4.1.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0$

단계 4.1.2.3

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 4.2

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ 에 $0$ 을 대입하여 구한 점은 $(0, 0)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(0, 0)$

단계 4.3

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ 에 $- \frac{2}{3}$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- \frac{2}{3}$ 을 대입합니다.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 {(- \frac{2}{3})}^{4} + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

단계 4.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1.1

$- \frac{2}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} {(\frac{2}{3})}^{4}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

단계 4.3.2.1.1.2

$\frac{2}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

단계 4.3.2.1.2

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (1 (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

단계 4.3.2.1.3

$\frac{2^{4}}{3^{4}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{4}}{3^{4}}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

단계 4.3.2.1.4

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3^{4}}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

단계 4.3.2.1.5

$3$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{81}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

단계 4.3.2.1.6

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.6.1

$81$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 (27)}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

단계 4.3.2.1.6.2

공약수로 약분합니다.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 \cdot 27}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

단계 4.3.2.1.6.3

수식을 다시 씁니다.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

단계 4.3.2.1.7

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.7.1

$- \frac{2}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3})$

단계 4.3.2.1.7.2

$\frac{2}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3}}))$

단계 4.3.2.1.8

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 (- \frac{2^{3}}{3^{3}})$

단계 4.3.2.1.9

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 (- \frac{8}{3^{3}})$

단계 4.3.2.1.10

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 (- \frac{8}{27})$

단계 4.3.2.1.11

$4 (- \frac{8}{27})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.11.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 (\frac{8}{27})$

단계 4.3.2.1.11.2

$- 4$ 와 $\frac{8}{27}$ 을 묶습니다.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 4 \cdot 8}{27}$

단계 4.3.2.1.11.3

$- 4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 32}{27}$

단계 4.3.2.1.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{32}{27}$

단계 4.3.2.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16 - 32}{27}$

단계 4.3.2.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.2.1

$16$ 에서 $32$ 을 뺍니다.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 16}{27}$

단계 4.3.2.2.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{16}{27}$

단계 4.3.2.3

최종 답은 $- \frac{16}{27}$ 입니다.

$- \frac{16}{27}$

단계 4.4

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ 에 $- \frac{2}{3}$ 을 대입하여 구한 점은 $(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$

단계 4.5

변곡점이 될 수 있는 점을 구합니다.

$(0, 0), (- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$

단계 5

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 0) \cup (0, \infty)$

단계 6

$(- \infty, - \frac{2}{3})$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 0.7\overline{6}$ 을 대입합니다.

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 36 {(- 0.7\overline{6})}^{2} + 24 (- 0.7\overline{6})$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$- 0.7\overline{6}$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 36 \cdot 0.58\overline{7} + 24 (- 0.7\overline{6})$

단계 6.2.1.2

$36$ 에 $0.58\overline{7}$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 21.16 + 24 (- 0.7\overline{6})$

단계 6.2.1.3

$24$ 에 $- 0.7\overline{6}$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 21.16 - 18.4$

단계 6.2.2

$21.16$ 에서 $18.4$ 을 뺍니다.

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 2.76$

단계 6.2.3

최종 답은 $2.76$ 입니다.

$2.76$

단계 6.3

$- 0.7\overline{6}$ 에서의 이계도함수는 $2.76$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(- \infty, - \frac{2}{3})$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, - \frac{2}{3})$ 에서 증가함

단계 7

$(- \frac{2}{3}, 0)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 0.\overline{3}$ 을 대입합니다.

$f'' (- 0.\overline{3}) = 36 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 24 (- 0.\overline{3})$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$- 0.\overline{3}$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 0.\overline{3}) = 36 \cdot 0.\overline{1} + 24 (- 0.\overline{3})$

단계 7.2.1.2

$36$ 에 $0.\overline{1}$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.\overline{3}) = 4 + 24 (- 0.\overline{3})$

단계 7.2.1.3

$24$ 에 $- 0.\overline{3}$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.\overline{3}) = 4 - 8$

단계 7.2.2

$4$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$f'' (- 0.\overline{3}) = - 4$

단계 7.2.3

최종 답은 $- 4$ 입니다.

$- 4$

단계 7.3

$- 0.\overline{3}$ 에서의 2차 미분값은 $- 4$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(- \frac{2}{3}, 0)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(- \frac{2}{3}, 0)$ 에서 감소함

단계 8

$(0, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.1$ 을 대입합니다.

$f'' (0.1) = 36 {(0.1)}^{2} + 24 (0.1)$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$0.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (0.1) = 36 \cdot 0.01 + 24 (0.1)$

단계 8.2.1.2

$36$ 에 $0.01$ 을 곱합니다.

$f'' (0.1) = 0.36 + 24 (0.1)$

단계 8.2.1.3

$24$ 에 $0.1$ 을 곱합니다.

$f'' (0.1) = 0.36 + 2.4$

단계 8.2.2

$0.36$ 를 $2.4$ 에 더합니다.

$f'' (0.1) = 2.76$

단계 8.2.3

최종 답은 $2.76$ 입니다.

$2.76$

단계 8.3

$0.1$ 에서의 이계도함수는 $2.76$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(0, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(0, \infty)$ 에서 증가함

단계 9

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27}), (0, 0)$ 입니다.

$(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27}), (0, 0)$

단계 10