미적분 예제

$\cos (x y) = x - y$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (\cos (x y)) = \frac{d}{d x} (x - y)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = x y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

단계 2.1.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $x y$ 로 바꿉니다.

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

단계 2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

단계 2.5

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \sin (x y) (x y' + y)$

단계 2.6

간단히 합니다.

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단계 2.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y$

단계 2.6.2

항을 다시 정렬합니다.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

미분합니다.

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단계 3.1.1

합의 법칙에 의해 $x - y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

단계 3.1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [- y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$1 - y'$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = 1 - y'$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = 1 - y'$

단계 5.2

방정식의 양변에 $y'$ 를 더합니다.

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) + y' = 1$

단계 5.3

방정식의 양변에 $y \sin (x y)$ 를 더합니다.

$- x y' \sin (x y) + y' = 1 + y \sin (x y)$

단계 5.4

$- x y' \sin (x y) + y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.4.1

$- x y' \sin (x y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (- x \sin (x y)) + y' = 1 + y \sin (x y)$

단계 5.4.2

$y'$ 를 $1$ 승 합니다.

$y' (- x \sin (x y)) + y' = 1 + y \sin (x y)$

단계 5.4.3

${y'}^{1}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (- x \sin (x y)) + y' \cdot 1 = 1 + y \sin (x y)$

단계 5.4.4

$y' (- x \sin (x y)) + y' \cdot 1$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (- x \sin (x y) + 1) = 1 + y \sin (x y)$

단계 5.5

$y' (- x \sin (x y) + 1) = 1 + y \sin (x y)$ 의 각 항을 $- x \sin (x y) + 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.5.1

$y' (- x \sin (x y) + 1) = 1 + y \sin (x y)$ 의 각 항을 $- x \sin (x y) + 1$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (- x \sin (x y) + 1)}{- x \sin (x y) + 1} = \frac{1}{- x \sin (x y) + 1} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) + 1}$

단계 5.5.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.5.2.1

$- x \sin (x y) + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (- x \sin (x y) + 1)}{- x \sin (x y) + 1} = \frac{1}{- x \sin (x y) + 1} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) + 1}$

단계 5.5.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{1}{- x \sin (x y) + 1} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) + 1}$

단계 5.5.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.5.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- x \sin (x y) + 1}$

단계 5.5.3.2

$- x \sin (x y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) + 1}$

단계 5.5.3.3

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - 1 (- 1)}$

단계 5.5.3.4

$- (x \sin (x y)) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- (x \sin (x y) - 1)}$

단계 5.5.3.5

음수 부분을 다시 씁니다.

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단계 5.5.3.5.1

$- (x \sin (x y) - 1)$ 을 $- 1 (x \sin (x y) - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- 1 (x \sin (x y) - 1)}$

단계 5.5.3.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{1 + y \sin (x y)}{x \sin (x y) - 1}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y \sin (x y)}{x \sin (x y) - 1}$