미적분 예제

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}}{h}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{h \to 0} 5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{h \to 0} 5 {(a - h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.2

$5$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{5 lim_{h \to 0} {(a - h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.3

극한의 멱의 법칙을 이용하여 ${(a - h)}^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{5 {(lim_{h \to 0} a - h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.4

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{5 {(lim_{h \to 0} a - lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.5

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $a$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{5 {(a - lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.6

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $5 a^{2}$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{5 {(a - lim_{h \to 0} h)}^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.7

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.7.1

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{5 {(a + 0)}^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.7.2

$5 {(a + 0)}^{2} - 5 a^{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.7.2.1

$a$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{5 a^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.7.2.2

$5 a^{2}$ 에서 $5 a^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.3

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.2

${(a - h)}^{2}$ 을 $(a - h) (a - h)$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 ((a - h) (a - h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(a - h) (a - h)$ 를 전개합니다.

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단계 1.3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a (a - h) - h (a - h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a \cdot a + a (- h) - h (a - h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a \cdot a + a (- h) - h a - h (- h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1.1

$a$ 에 $a$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} + a (- h) - h a - h (- h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - h (- h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - 1 \cdot - 1 h \cdot h) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.1.4

지수를 더하여 $h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

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단계 1.3.4.1.4.1

$h$ 를 옮깁니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - 1 \cdot - 1 (h \cdot h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.1.4.2

$h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - 1 \cdot - 1 h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.1.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a + 1 h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.1.6

$h^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a + h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.2

$- a h$ 에서 $h a$ 을 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.2.1

$h$ 를 옮깁니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - 1 a h + h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4.2.2

$- a h$ 에서 $a h$ 을 뺍니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.5

합의 법칙에 의해 $5 (a^{2} - 2 a h + h^{2}) - 5 a^{2}$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})] + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]$ 가 됩니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})] + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.6

$\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.6.1

$5$ 은 $h$ 에 대해 일정하므로 $h$ 에 대한 $5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d h} [a^{2} - 2 a h + h^{2}]$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{5 \frac{d}{d h} [a^{2} - 2 a h + h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.6.2

합의 법칙에 의해 $a^{2} - 2 a h + h^{2}$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d h} [a^{2}] + \frac{d}{d h} [- 2 a h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ 가 됩니다.

$lim_{h \to 0} \frac{5 (\frac{d}{d h} [a^{2}] + \frac{d}{d h} [- 2 a h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.6.3

$a^{2}$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $a^{2}$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $a^{2}$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 + \frac{d}{d h} [- 2 a h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.6.4

$- 2 a$ 은 $h$ 에 대해 일정하므로 $h$ 에 대한 $- 2 a h$ 의 미분은 $- 2 a \frac{d}{d h} [h]$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.6.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.6.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a \cdot 1 + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.6.7

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.6.8

$0$ 에서 $2 a$ 을 뺍니다.

$lim_{h \to 0} \frac{5 (- 2 a + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.7

$- 5 a^{2}$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $- 5 a^{2}$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $- 5 a^{2}$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{5 (- 2 a + 2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{5 (- 2 a) + 5 (2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.8.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.8.2.1

$- 2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 5 (2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.8.2.2

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 10 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.8.2.3

$- 10 a + 10 h$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 10 h}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 10 h}{1}$

단계 1.4

$- 10 a + 10 h$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{h \to 0} - 10 a + 10 h$

단계 2

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- lim_{h \to 0} 10 a + lim_{h \to 0} 10 h$

단계 2.2

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $10 a$ 의 극한을 구합니다.

$- 10 a + lim_{h \to 0} 10 h$

단계 2.3

$10$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- 10 a + 10 lim_{h \to 0} h$

단계 3

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$- 10 a + 10 \cdot 0$

단계 4

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$10$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- 10 a + 0$

단계 4.2

$- 10 a$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 10 a$