미적분 예제

$lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot ({(1 + h)}^{3} - 1)$

단계 1

$\frac{1}{h}$ 에 ${(1 + h)}^{3} - 1$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h}$

단계 2

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{h \to 0} {(1 + h)}^{3} - 1}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.1

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{h \to 0} {(1 + h)}^{3} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.1.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 ${(1 + h)}^{3}$ 의 지수 $3$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{h \to 0} 1 + h)}^{3} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.1.3

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{{(lim_{h \to 0} 1 + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.1.4

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{{(1 + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.1.5

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{{(1 + lim_{h \to 0} h)}^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.2

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{{(1 + 0)}^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.3.1.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.3.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.3.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.3.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.3

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 2.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 2.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{h \to 0} \frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 + h)}^{3} - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 2.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 + h)}^{3} - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.2

합의 법칙에 의해 ${(1 + h)}^{3} - 1$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d h} [{(1 + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- 1]$ 가 됩니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.3

$\frac{d}{d h} [{(1 + h)}^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.3.1

$f (h) = h^{3}$ , $g (h) = 1 + h$ 일 때 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ 는 $f' (g (h)) g' (h)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 + h$ 로 바꿉니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d h} [1 + h] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.3.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d h} [1 + h] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.3.1.3

$u$ 를 모두 $1 + h$ 로 바꿉니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} \frac{d}{d h} [1 + h] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.3.2

합의 법칙에 의해 $1 + h$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [h]$ 가 됩니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.3.3

$1$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.3.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.3.6

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.4

$- 1$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

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단계 2.3.5.1

$3 {(1 + h)}^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.5.2

${(1 + h)}^{2}$ 을 $(1 + h) (1 + h)$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 ((1 + h) (1 + h))}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.5.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + h) (1 + h)$ 를 전개합니다.

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단계 2.3.5.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 (1 + h) + h (1 + h))}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.5.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 \cdot 1 + 1 h + h (1 + h))}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.5.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 \cdot 1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.5.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.5.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.3.5.4.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.5.4.1.2

$h$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 + h + h \cdot 1 + h \cdot h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.5.4.1.3

$h$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 + h + h + h \cdot h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.5.4.1.4

$h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 + h + h + h^{2})}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.5.4.2

$h$ 를 $h$ 에 더합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 + 2 h + h^{2})}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.5.5

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 \cdot 1 + 3 (2 h) + 3 h^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.5.6

간단히 합니다.

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단계 2.3.5.6.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 + 3 (2 h) + 3 h^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.5.6.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 + 6 h + 3 h^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 + 6 h + 3 h^{2}}{1}$

단계 2.4

$3 + 6 h + 3 h^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{h \to 0} 3 + 6 h + 3 h^{2}$

단계 3

극한값을 계산합니다.

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단계 3.1

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{h \to 0} 3 + lim_{h \to 0} 6 h + lim_{h \to 0} 3 h^{2}$

단계 3.2

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $3$ 의 극한을 구합니다.

$3 + lim_{h \to 0} 6 h + lim_{h \to 0} 3 h^{2}$

단계 3.3

$6$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$3 + 6 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3 h^{2}$

단계 3.4

$3$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$3 + 6 lim_{h \to 0} h + 3 lim_{h \to 0} h^{2}$

단계 3.5

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $h^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$3 + 6 lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

단계 4

$h$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$3 + 6 \cdot 0 + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

단계 4.2

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$3 + 6 \cdot 0 + 3 \cdot 0^{2}$

단계 5

답을 간단히 합니다.

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단계 5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$6$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$3 + 0 + 3 \cdot 0^{2}$

단계 5.1.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$3 + 0 + 3 \cdot 0$

단계 5.1.3

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$3 + 0 + 0$

단계 5.2

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 + 0$

단계 5.3

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3$