미적분 예제

$lim_{h \to 0} \frac{\ln (2 + h) - \ln (2)}{h}$

단계 1

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\ln (\frac{2 + h}{2})}{h}$

단계 2

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 2.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{h \to 0} \ln (\frac{2 + h}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 2.1.2.1

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1.2.1.1

극한을 로그 안으로 옮깁니다.

$\frac{\ln (lim_{h \to 0} \frac{2 + h}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.1.2

$\frac{1}{2}$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{\ln (\frac{1}{2} lim_{h \to 0} 2 + h)}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.1.3

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{\ln (\frac{1}{2} (lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h))}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.1.4

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\ln (\frac{1}{2} (2 + lim_{h \to 0} h))}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.2

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\ln (\frac{1}{2} (2 + 0))}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.3

답을 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.3.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\ln (\frac{1}{2} \cdot 2)}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.2.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\ln (\frac{1}{2} \cdot 2)}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\ln (1)}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.3.3

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.3

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 2.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 2.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\ln (\frac{2 + h}{2})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\ln (\frac{2 + h}{2})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 2.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\ln (\frac{2 + h}{2})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.2

$f (h) = \ln (h)$ , $g (h) = \frac{2 + h}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ 는 $f' (g (h)) g' (h)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{2 + h}{2}$ 로 바꿉니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d h} [\frac{2 + h}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d h} [\frac{2 + h}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.2.3

$u$ 를 모두 $\frac{2 + h}{2}$ 로 바꿉니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\frac{2 + h}{2}} \frac{d}{d h} [\frac{2 + h}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.3

$\frac{2 + h}{2}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{1 \frac{2}{2 + h} \frac{d}{d h} [\frac{2 + h}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.4

$\frac{2}{2 + h}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{2 + h} \frac{d}{d h} [\frac{2 + h}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.5

$\frac{1}{2}$ 은 $h$ 에 대해 일정하므로 $h$ 에 대한 $\frac{2 + h}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d h} [2 + h]$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{2 + h} (\frac{1}{2} \frac{d}{d h} [2 + h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.6

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{2}{2 + h}$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{2 (2 + h)} \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.7

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.7.1

공약수로 약분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{2 (2 + h)} \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.7.2

수식을 다시 씁니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.8

합의 법칙에 의해 $2 + h$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]$ 가 됩니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} (\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.9

$2$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} (0 + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.10

$0$ 를 $\frac{d}{d h} [h]$ 에 더합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} \frac{d}{d h} [h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} \cdot 1}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.12

$\frac{1}{2 + h}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h}}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.13

항을 다시 정렬합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{h + 2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.14

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{h + 2}}{1}$

단계 2.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{h + 2} \cdot 1$

단계 2.5

$\frac{1}{h + 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{h + 2}$

단계 3

극한값을 계산합니다.

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단계 3.1

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h + 2}$

단계 3.2

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{lim_{h \to 0} h + 2}$

단계 3.3

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2}$

단계 3.4

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{lim_{h \to 0} h + 2}$

단계 4

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{0 + 2}$

단계 5

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2}$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{2}$

소수 형태:

$0.5$