미적분 예제

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{8 \cos (x)}{\cot (x)}$

단계 1

$8$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\cot (x)}$

단계 2

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 2.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$8 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

단계 2.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 2.1.2.1

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$8 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

단계 2.1.2.2

$x$ 에 $\frac{π}{2}$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$8 \frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

단계 2.1.2.3

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$8 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

단계 2.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 2.1.3.1

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$8 \frac{0}{\cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

단계 2.1.3.2

$x$ 에 $\frac{π}{2}$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$8 \frac{0}{\cot (\frac{π}{2})}$

단계 2.1.3.3

$\cot (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$8 (\frac{0}{0})$

단계 2.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$8 (\frac{0}{0})$

단계 2.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$8 (\frac{0}{0})$

단계 2.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\cot (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

단계 2.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 2.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

단계 2.3.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

단계 2.3.3

$\cot (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \csc^{2} (x)$ 입니다.

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{- \csc^{2} (x)}$

단계 2.4

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{\csc^{2} (x)}$

단계 3

극한값을 계산합니다.

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단계 3.1

$x$ 가 $\frac{π}{2}$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$8 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{2} (x)}$

단계 3.2

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$8 \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{2} (x)}$

단계 3.3

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $\csc^{2} (x)$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$8 \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{{(lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x))}^{2}}$

단계 3.4

코시컨트는 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 옮깁니다.

$8 \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{\csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

단계 4

$x$ 가 있는 모든 곳에 $\frac{π}{2}$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 4.1

$x$ 에 $\frac{π}{2}$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$8 \frac{\sin (\frac{π}{2})}{\csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

단계 4.2

$x$ 에 $\frac{π}{2}$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$8 \frac{\sin (\frac{π}{2})}{\csc^{2} (\frac{π}{2})}$

단계 5

답을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$8 \frac{1}{\csc^{2} (\frac{π}{2})}$

단계 5.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$\csc (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$8 \frac{1}{1^{2}}$

단계 5.2.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$8 (\frac{1}{1})$

단계 5.3

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.1

공약수로 약분합니다.

$8 (\frac{1}{1})$

단계 5.3.2

수식을 다시 씁니다.

$8 \cdot 1$

단계 5.4

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8$