미적분 예제

$lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{9 - t} - 3}{t}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{t \to 0} \sqrt{9 - t} - 3}{lim_{t \to 0} t}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$t$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{t \to 0} \sqrt{9 - t} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t}$

단계 1.1.2.2

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} 9 - t} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t}$

단계 1.1.2.3

$t$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} 9 - lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t}$

단계 1.1.2.4

$t$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $9$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\sqrt{9 - lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t}$

단계 1.1.2.5

$t$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $3$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\sqrt{9 - lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t}$

단계 1.1.2.6

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.6.1

$t$ 에 $0$ 을 대입하여 $t$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{9 + 0} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t}$

단계 1.1.2.6.2

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.6.2.1.1

$9$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{9} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t}$

단계 1.1.2.6.2.1.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t}$

단계 1.1.2.6.2.1.3

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t}$

단계 1.1.2.6.2.1.4

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{3 - 3}{lim_{t \to 0} t}$

단계 1.1.2.6.2.2

$3$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t}$

단계 1.1.3

$t$ 에 $0$ 을 대입하여 $t$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{9 - t} - 3}{t} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{9 - t} - 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{9 - t} - 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $\sqrt{9 - t} - 3$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [\sqrt{9 - t}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ 가 됩니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{9 - t}] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 1.3.3

$\frac{d}{d t} [\sqrt{9 - t}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{9 - t}$ 을(를) ${(9 - t)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [{(9 - t)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 1.3.3.2

$f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ , $g (t) = 9 - t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $9 - t$ 로 바꿉니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [9 - t] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 1.3.3.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [9 - t] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 1.3.3.2.3

$u$ 를 모두 $9 - t$ 로 바꿉니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [9 - t] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 1.3.3.3

합의 법칙에 의해 $9 - t$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [- t]$ 가 됩니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [- t]) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 1.3.3.4

$9$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 1.3.3.5

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- t$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 1.3.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 1.3.3.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 1.3.3.8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 1.3.3.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 1.3.3.10

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 1.3.3.10.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 1.3.3.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 1.3.3.12

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 1.3.3.13

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 1.3.3.14

$\frac{1}{2}$ 와 ${(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{{(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 1.3.3.15

$\frac{{(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{{(9 - t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 1.3.3.16

${(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{- 1 \cdot {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 1.3.3.17

$- 1 {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 $- {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{- {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 1.3.3.18

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{- 1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 1.3.3.19

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 1.3.4

$- 3$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 1.3.5

$- \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t]}$

단계 1.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

단계 1.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{t \to 0} - \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

단계 1.5

${(9 - t)}^{\frac{1}{2}}$ 을 $\sqrt{9 - t}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{9 - t}} \cdot 1$

단계 1.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{9 - t}}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$- 1$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{9 - t}}$

단계 2.2

$\frac{1}{2}$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{2} lim_{t \to 0} \frac{1}{\sqrt{9 - t}}$

단계 2.3

$t$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} \sqrt{9 - t}}$

단계 2.4

$t$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{t \to 0} \sqrt{9 - t}}$

단계 2.5

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 0} 9 - t}}$

단계 2.6

$t$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 0} 9 - lim_{t \to 0} t}}$

단계 2.7

$t$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $9$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 - lim_{t \to 0} t}}$

단계 2.8

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1

$t$ 에 $0$ 을 대입하여 $t$ 의 극한을 계산합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 0}}$

단계 2.8.2

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.2.1.1

$9$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9}}$

단계 2.8.2.1.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

단계 2.8.2.1.3

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$

단계 2.8.2.2

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.2.2.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{3 \cdot 2}$

단계 2.8.2.2.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{6}$

단계 3

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{1}{6}$

소수 형태:

$- 0.1\overline{6}$