미적분 예제

$\frac{lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x^{3}} + 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

단계 1

$x$ 가 $8$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

단계 2

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{3 lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

단계 3

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

단계 4

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{3}$ 의 지수 $3$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{3 \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

단계 5

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{3 \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}} + 3 lim_{x \to 8} x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

단계 6

$x$ 가 있는 모든 곳에 $8$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$x$ 에 $8$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{3 \sqrt{8^{3}} + 3 lim_{x \to 8} x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

단계 6.2

$x$ 에 $8$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{3 \sqrt{8^{3}} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

단계 7

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1.1

$8$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{3 \sqrt{512} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

단계 7.1.2

$512$ 을 $16^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.1

$512$ 에서 $256$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \sqrt{256 (2)} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

단계 7.1.2.2

$256$ 을 $16^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 \sqrt{16^{2} \cdot 2} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

단계 7.1.3

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{3 (16 \sqrt{2}) + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

단계 7.1.4

$16$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{48 \sqrt{2} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

단계 7.1.5

$3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{2 x^{3}}}$

단계 7.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$2 x^{3}$ 을 $x^{2} \cdot (2 x)$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 7.2.1.1

$x^{2}$ 로 인수분해합니다.

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{2 (x^{2} x)}}$

단계 7.2.1.2

$2$ 와 $x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{x^{2} \cdot 2 x}}$

단계 7.2.1.3

괄호를 표시합니다.

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{x^{2} \cdot (2 x)}}$

단계 7.2.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}}$

단계 7.3

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}}$ 에 $\frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$ 을 곱합니다.

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}} \cdot \frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$

단계 7.4

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 7.4.1

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}}$ 에 $\frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}}$

단계 7.4.2

$\sqrt{2 x}$ 를 옮깁니다.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x (\sqrt{2 x} \sqrt{2 x})}$

단계 7.4.3

$\sqrt{2 x}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x ({\sqrt{2 x}}^{1} \sqrt{2 x})}$

단계 7.4.4

$\sqrt{2 x}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x ({\sqrt{2 x}}^{1} {\sqrt{2 x}}^{1})}$

단계 7.4.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {\sqrt{2 x}}^{1 + 1}}$

단계 7.4.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {\sqrt{2 x}}^{2}}$

단계 7.4.7

${\sqrt{2 x}}^{2}$ 을 $2 x$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 7.4.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2 x}$ 을(를) ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 7.4.7.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 7.4.7.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{\frac{2}{2}}}$

단계 7.4.7.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.4.7.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{\frac{2}{2}}}$

단계 7.4.7.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{1}}$

단계 7.4.7.5

간단히 합니다.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x (2 x)}$

단계 7.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 7.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x \cdot x \cdot 2}$

단계 7.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x^{2} \cdot 2}$

단계 7.6

$48 \sqrt{2} + 24$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.6.1

$(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 ((24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x})}{x^{2} \cdot 2}$

단계 7.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.6.2.1

$x^{2} \cdot 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 ((24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x})}{2 \cdot x^{2}}$

단계 7.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 ((24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x})}{2 \cdot x^{2}}$

단계 7.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

단계 7.7

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{24 \sqrt{2} \sqrt{2 x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

단계 7.8

$24 \sqrt{2} \sqrt{2 x}$ 을 곱합니다.

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단계 7.8.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$\frac{24 \sqrt{2 x \cdot 2} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

단계 7.8.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{24 \sqrt{4 x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

단계 7.9

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.9.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{24 \sqrt{2^{2} x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

단계 7.9.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{24 (2 \sqrt{x}) + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

단계 7.9.3

$2$ 에 $24$ 을 곱합니다.

$\frac{48 \sqrt{x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

단계 7.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.10.1

$48 \sqrt{x} + 12 \sqrt{2 x}$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.10.1.1

$48 \sqrt{x}$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12 (4 \sqrt{x}) + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

단계 7.10.1.2

$12 \sqrt{2 x}$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12 (4 \sqrt{x}) + 12 (\sqrt{2 x})}{x^{2}}$

단계 7.10.1.3

$12 (4 \sqrt{x}) + 12 (\sqrt{2 x})$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12 (4 \sqrt{x} + \sqrt{2 x})}{x^{2}}$

단계 7.10.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{12 (4 x^{\frac{1}{2}} + \sqrt{2 x})}{x^{2}}$

단계 7.10.3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2 x}$ 을(를) ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{12 (4 x^{\frac{1}{2}} + {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

단계 7.10.4

$2 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{12 (4 x^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

단계 7.10.5

$4 x^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.10.5.1

$4 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

단계 7.10.5.2

$2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

단계 7.10.5.3

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ 에서 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} (4 + 2^{\frac{1}{2}}))}{x^{2}}$

$\frac{12 x^{\frac{1}{2}} (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

단계 7.11

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

단계 7.12

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 7.12.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2 - \frac{1}{2}}}$

단계 7.12.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}$

단계 7.12.3

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}$

단계 7.12.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}$

단계 7.12.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.12.5.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{4 - 1}{2}}}$

단계 7.12.5.2

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$