미적분 예제

$lim_{x \to 0} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3 x}}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 극한을 간단히 합니다.

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단계 1.1

${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3 x}}$ 을 $e^{\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3 x}})}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3 x}})}$

단계 1.2

$\frac{1}{3 x}$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3 x}})$ 을 전개합니다.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{3 x} \ln (1 + 2 x)}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

극한을 지수로 옮깁니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{3 x} \ln (1 + 2 x)}$

단계 2.2

$\frac{1}{3 x}$ 와 $\ln (1 + 2 x)$ 을 묶습니다.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 2 x)}{3 x}}$

단계 2.3

$\frac{1}{3}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 2 x)}{x}}$

단계 3

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 3.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 3.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + 2 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 3.1.2.1

극한값을 계산합니다.

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단계 3.1.2.1.1

극한을 로그 안으로 옮깁니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + 2 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.1.2

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.1.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.1.4

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 + 2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 + 2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.3

답을 간단히 합니다.

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단계 3.1.2.3.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.3.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.2.3.3

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

단계 3.1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}}$

단계 3.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$e^{\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}}$

단계 3.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 2 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 1 + 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 + 2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.2.3

$u$ 를 모두 $1 + 2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.3

합의 법칙에 의해 $1 + 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 가 됩니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 에 더합니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.6

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.7

$2$ 와 $\frac{1}{1 + 2 x}$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 2 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.9

$\frac{2}{1 + 2 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 2 x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.10

항을 다시 정렬합니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{2 x + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

단계 3.3.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{2 x + 1}}{1}}$

단계 3.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2}{2 x + 1} \cdot 1}$

단계 3.5

$\frac{2}{2 x + 1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2}{2 x + 1}}$

단계 4

극한값을 계산합니다.

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단계 4.1

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + 1}}$

단계 4.2

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}}$

단계 4.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}}$

단계 4.4

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}}$

단계 4.5

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}}$

단계 4.6

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + 1}}$

단계 5

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{2 \cdot 0 + 1}}$

단계 6

답을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{3}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 0 + 1}}$

단계 6.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{0 + 1}}$

단계 6.2.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$e^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1}}$

단계 6.3

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.1

공약수로 약분합니다.

$e^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1}}$

단계 6.3.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{\frac{2}{3} \cdot 1}$

단계 6.4

$\frac{2}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{2}{3}}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$e^{\frac{2}{3}}$

소수 형태:

$1.94773404 \dots$