미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{t} + t^{2}}{3 t - t^{2}}$

단계 1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $\frac{\sqrt{t} + t^{2}}{3 t - t^{2}}$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\sqrt{t} + t^{2}}{3 t - t^{2}}$

단계 2

답을 간단히 합니다.

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단계 2.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{t}$ 을(를) $t^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} + t^{2}}{3 t - t^{2}}$

단계 2.1.2

$t^{\frac{1}{2}} + t^{2}$ 에서 $t^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{2}}{3 t - t^{2}}$

단계 2.1.2.2

$t^{2}$ 에서 $t^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}}}{3 t - t^{2}}$

단계 2.1.2.3

$t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}}$ 에서 $t^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{3}{2}})}{3 t - t^{2}}$

단계 2.1.3

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1^{3} + t^{\frac{3}{2}})}{3 t - t^{2}}$

단계 2.1.4

$t^{\frac{3}{2}}$ 을 ${(t^{\frac{1}{2}})}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1^{3} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{3})}{3 t - t^{2}}$

단계 2.1.5

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 합 공식 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = t^{\frac{1}{2}}$ 입니다.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1^{2} - 1 t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{3 t - t^{2}}$

단계 2.1.6

간단히 합니다.

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단계 2.1.6.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - 1 t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{3 t - t^{2}}$

단계 2.1.6.2

$- 1 t^{\frac{1}{2}}$ 을 $- t^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{3 t - t^{2}}$

단계 2.1.6.3

${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1.6.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}))}{3 t - t^{2}}$

단계 2.1.6.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.6.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}))}{3 t - t^{2}}$

단계 2.1.6.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{1}))}{3 t - t^{2}}$

단계 2.1.6.4

간단히 합니다.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t))}{3 t - t^{2}}$

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{3 t - t^{2}}$

단계 2.2

$3 t - t^{2}$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.1

$3 t$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t \cdot 3 - t^{2}}$

단계 2.2.2

$- t^{2}$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t \cdot 3 + t (- t)}$

단계 2.2.3

$t \cdot 3 + t (- t)$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t (3 - t)}$

단계 2.3

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $t^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t (3 - t) t^{- \frac{1}{2}}}$

단계 2.4

지수를 더하여 $t$ 에 $t^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 2.4.1

$t^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2}} t (3 - t)}$

단계 2.4.2

$t^{- \frac{1}{2}}$ 에 $t$ 을 곱합니다.

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단계 2.4.2.1

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2}} t^{1} (3 - t)}$

단계 2.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2} + 1} (3 - t)}$

단계 2.4.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (3 - t)}$

단계 2.4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{\frac{- 1 + 2}{2}} (3 - t)}$

단계 2.4.5

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{\frac{1}{2}} (3 - t)}$