미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

단계 1

극한을 좌극한으로 설정합니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

단계 2

변수에 값을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $\frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{9}{0^{0}} - \frac{5^{0}}{0}$

단계 2.2

$\frac{9}{0^{0}} - \frac{5^{0}}{0}$ 이(가) 정의되지 않았으므로 극한이 없습니다.

$존재하지 않음$

단계 3

극한을 우극한으로 설정합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

단계 4

우극한 값을 계산합니다.

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단계 4.1

극한값을 계산합니다.

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단계 4.1.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{9}{x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

단계 4.1.2

$9$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

단계 4.1.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$9 \frac{lim_{x \to 0^{+}} 1}{lim_{x \to 0^{+}} x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

단계 4.1.4

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

단계 4.2

로그 성질을 사용하여 극한을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$x^{x}$ 을 $e^{\ln (x^{x})}$ 로 바꿔 씁니다.

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{x})}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

단계 4.2.2

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (x^{x})$ 을 전개합니다.

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (x)}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

단계 4.3

극한을 지수로 옮깁니다.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x)}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

단계 4.4

$x \ln (x)$ 을 $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$ 로 바꿔 씁니다.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

단계 4.5

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 4.5.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 4.5.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$9 \frac{1}{e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

단계 4.5.1.2

$x$ 이(가) 오른쪽에서 $0$ 에 접근함에 따라 $\ln (x)$ 이(가) 무한히 감수합니다.

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

단계 4.5.1.3

분자는 상수이고 분모는 $x$ 이(가) 오른쪽에서 $0$ 에 근접할 때 $0$ 에 근접하므로 분수 $\frac{1}{x}$ 은 무한대로 발산합니다.

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{\infty}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

단계 4.5.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{\infty}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

단계 4.5.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

단계 4.5.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 4.5.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

단계 4.5.3.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

단계 4.5.3.3

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

단계 4.5.3.4

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- x^{- 2}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

단계 4.5.3.5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

단계 4.5.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

단계 4.5.5

$\frac{1}{x}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

단계 4.5.6

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.5.6.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

단계 4.5.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.5.6.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x^{1}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

단계 4.5.6.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

단계 4.5.6.2.3

공약수로 약분합니다.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

단계 4.5.6.2.4

수식을 다시 씁니다.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

단계 4.5.6.2.5

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

단계 4.6

극한값을 계산합니다.

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단계 4.6.1

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$9 \frac{1}{e^{- lim_{x \to 0^{+}} x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

단계 4.6.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$9 \frac{1}{e^{0}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

단계 4.7

분자는 양수이고 분모 $x$ 는 0으로 접근하며 오른쪽에서 $0$ 에 가까운 $x$ 에 대해 0보다 크므로 함수는 한없이 증가합니다.

$9 \frac{1}{e^{0}} - \infty$

단계 4.8

답을 간단히 합니다.

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단계 4.8.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.8.1.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$9 (\frac{1}{1}) - \infty$

단계 4.8.1.2

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.8.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$9 (\frac{1}{1}) - \infty$

단계 4.8.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$9 \cdot 1 - \infty$

단계 4.8.1.3

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$9 - \infty$

단계 4.8.1.4

0이 아닌 상수 곱하기 무한대는 무한대입니다.

$9 + - \infty$

단계 4.8.2

무한대 더하기 또는 빼기 숫자는 무한대입니다.

$- \infty$

단계 5

단측 극한 중 하나가 존재하지 않으면 극한이 존재하지 않습니다.

$존재하지 않음$