미적분 예제

$lim_{x \to 9} \frac{x^{2} - 3 x - 54}{x - 9}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 9} x^{2} - 3 x - 54}{lim_{x \to 9} x - 9}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$x$ 가 $9$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 9} x^{2} - lim_{x \to 9} 3 x - lim_{x \to 9} 54}{lim_{x \to 9} x - 9}$

단계 1.1.2.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{2} - lim_{x \to 9} 3 x - lim_{x \to 9} 54}{lim_{x \to 9} x - 9}$

단계 1.1.2.3

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 54}{lim_{x \to 9} x - 9}$

단계 1.1.2.4

$x$ 가 $9$ 에 가까워질 때 상수값 $54$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 54}{lim_{x \to 9} x - 9}$

단계 1.1.2.5

$x$ 가 있는 모든 곳에 $9$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.1

$x$ 에 $9$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{9^{2} - 3 lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 54}{lim_{x \to 9} x - 9}$

단계 1.1.2.5.2

$x$ 에 $9$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{9^{2} - 3 \cdot 9 - 1 \cdot 54}{lim_{x \to 9} x - 9}$

단계 1.1.2.6

답을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.6.1.1

$9$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{81 - 3 \cdot 9 - 1 \cdot 54}{lim_{x \to 9} x - 9}$

단계 1.1.2.6.1.2

$- 3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{81 - 27 - 1 \cdot 54}{lim_{x \to 9} x - 9}$

단계 1.1.2.6.1.3

$- 1$ 에 $54$ 을 곱합니다.

$\frac{81 - 27 - 54}{lim_{x \to 9} x - 9}$

단계 1.1.2.6.2

$81$ 에서 $27$ 을 뺍니다.

$\frac{54 - 54}{lim_{x \to 9} x - 9}$

단계 1.1.2.6.3

$54$ 에서 $54$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 9}$

단계 1.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.3.1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.3.1.1

$x$ 가 $9$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 9}$

단계 1.1.3.1.2

$x$ 가 $9$ 에 가까워질 때 상수값 $9$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9}$

단계 1.1.3.2

$x$ 에 $9$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}$

단계 1.1.3.3

답을 간단히 합니다.

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단계 1.1.3.3.1

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{9 - 9}$

단계 1.1.3.3.2

$9$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.3.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 9} \frac{x^{2} - 3 x - 54}{x - 9} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 54]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 54]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 3 x - 54$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 54]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 54]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

단계 1.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 9} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 54]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

단계 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.4.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 54]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

단계 1.3.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 54]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

단계 1.3.4.3

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 54]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

단계 1.3.5

$- 54$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 54$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 54$ 입니다.

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 3 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

단계 1.3.6

$2 x - 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 3}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

단계 1.3.7

합의 법칙에 의해 $x - 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 3}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

단계 1.3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 3}{1 + \frac{d}{d x} [- 9]}$

단계 1.3.9

$- 9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 9$ 입니다.

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 3}{1 + 0}$

단계 1.3.10

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 9} \frac{2 x - 3}{1}$

단계 1.4

$2 x - 3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to 9} 2 x - 3$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$x$ 가 $9$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{x \to 9} 2 x - lim_{x \to 9} 3$

단계 2.2

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$2 lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 3$

단계 2.3

$x$ 가 $9$ 에 가까워질 때 상수값 $3$ 의 극한을 구합니다.

$2 lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 3$

단계 3

$x$ 에 $9$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$2 \cdot 9 - 1 \cdot 3$

단계 4

답을 간단히 합니다.

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단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$18 - 1 \cdot 3$

단계 4.1.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$18 - 3$

단계 4.2

$18$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$15$