미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \cos (x)}{x}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.2.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.2

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.3

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.4

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.5

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.2.5.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\sin (3 \cdot 0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.5.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\sin (3 \cdot 0) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.6

답을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.6.1

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (0) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.6.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.6.3

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.6.4

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \cos (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.2

$f (x) = \sin (3 x)$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4.3

$u$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.5

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (3 x) (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.7

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.8

$\cos (x) \cos (3 x)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + 3 \cdot (\cos (x) \cos (3 x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.9

항을 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) \sin (3 x) + 3 \cos (x) \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) \sin (3 x) + 3 \cos (x) \cos (3 x)}{1}$

단계 1.4

$- \sin (x) \sin (3 x) + 3 \cos (x) \cos (3 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to 0} - \sin (x) \sin (3 x) + 3 \cos (x) \cos (3 x)$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x)$

단계 2.2

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x)$

단계 2.3

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x)$

단계 2.4

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x)$

단계 2.5

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x)$

단계 2.6

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)$

단계 2.7

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)$

단계 2.8

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)$

단계 2.9

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x)$

단계 2.10

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)$

단계 3

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 3.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$- \sin (0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)$

단계 3.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$- \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)$

단계 3.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$- \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)$

단계 3.4

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$- \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)$

단계 4

답을 간단히 합니다.

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단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$- 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)$

단계 4.1.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)$

단계 4.1.3

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 \cdot \sin (0) + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)$

단계 4.1.4

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$0 \cdot 0 + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)$

단계 4.1.5

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)$

단계 4.1.6

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$0 + 3 \cdot 1 \cdot \cos (3 \cdot 0)$

단계 4.1.7

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 3 \cdot \cos (3 \cdot 0)$

단계 4.1.8

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 3 \cdot \cos (0)$

단계 4.1.9

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$0 + 3 \cdot 1$

단계 4.1.10

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 3$

단계 4.2

$0$ 를 $3$ 에 더합니다.

$3$