미적분 예제

$lim_{x \to 0} {\tan (2 x)}^{x}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 극한을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

${\tan (2 x)}^{x}$ 을 $e^{\ln ({\tan (2 x)}^{x})}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({\tan (2 x)}^{x})}$

단계 1.2

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({\tan (2 x)}^{x})$ 을 전개합니다.

$lim_{x \to 0} e^{x \ln (\tan (2 x))}$

단계 2

극한을 좌극한으로 설정합니다.

$lim_{x \to 0^{-}} e^{x \ln (\tan (2 x))}$

단계 3

변수에 값을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 3.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $e^{x \ln (\tan (2 x))}$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{0 \ln (\tan (2 \cdot 0))}$

단계 3.2

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{0 \ln (\tan (0))}$

단계 3.3

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$e^{0 \ln (0)}$

단계 3.4

$e^{0 \ln (0)}$ 이(가) 정의되지 않았으므로 극한이 없습니다.

$존재하지 않음$

단계 4

극한을 우극한으로 설정합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\tan (2 x))}$

단계 5

우극한 값을 계산합니다.

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단계 5.1

극한을 지수로 옮깁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\tan (2 x))}$

단계 5.2

$x \ln (\tan (2 x))$ 을 $\frac{\ln (\tan (2 x))}{\frac{1}{x}}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\tan (2 x))}{\frac{1}{x}}}$

단계 5.3

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 5.3.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 5.3.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\tan (2 x))}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

단계 5.3.1.2

$x$ 이(가) 오른쪽에서 $0$ 에 접근함에 따라 $\ln (\tan (2 x))$ 이(가) 무한히 감수합니다.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

단계 5.3.1.3

분자는 상수이고 분모는 $x$ 이(가) 오른쪽에서 $0$ 에 근접할 때 $0$ 에 근접하므로 분수 $\frac{1}{x}$ 은 무한대로 발산합니다.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

단계 5.3.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

단계 5.3.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\tan (2 x))}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (2 x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

단계 5.3.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 5.3.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (2 x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.3.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \tan (2 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\tan (2 x)$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.3.2.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.3.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\tan (2 x)$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\tan (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.3.3

$\tan (2 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.3.4

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.3.5

$1$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.3.6

간단히 합니다.

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단계 5.3.3.6.1

수식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.3.6.2

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.3.7

$f (x) = \tan (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.3.3.7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.3.7.2

$\tan (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u_{2})$ 입니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.3.7.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.3.8

$\sec^{2} (2 x)$ 와 $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ 을 묶습니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.3.9

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.3.10

$2$ 와 $\frac{\sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ 을 묶습니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.3.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.3.12

$\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.3.13

간단히 합니다.

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단계 5.3.3.13.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.13.1.1

$\sec (2 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.3.13.1.2

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.3.13.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.3.13.1.4

$2$ 와 $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ 을 묶습니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.3.13.1.5

$\cos (2 x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.3.13.1.5.1

$\cos^{2} (2 x)$ 에서 $\cos (2 x)$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.3.13.1.5.2

공약수로 약분합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.3.13.1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos (2 x)}}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.3.13.2

항을 묶습니다.

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단계 5.3.3.13.2.1

$\frac{\frac{2}{\cos (2 x)}}{\sin (2 x)}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.3.13.2.2

$\frac{2}{\cos (2 x)}$ 에 $\frac{1}{\sin (2 x)}$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.3.14

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

단계 5.3.3.15

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{- x^{- 2}}}$

단계 5.3.3.16

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

단계 5.3.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)} \cdot - 1 x^{2}}$

단계 5.3.5

$\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{2 x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}$

단계 5.4

극한값을 계산합니다.

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단계 5.4.1

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}$

단계 5.4.2

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}$

단계 5.5

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 5.5.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 5.5.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

단계 5.5.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 5.5.1.2.1

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{- 2 \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

단계 5.5.1.2.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{- 2 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

단계 5.5.1.2.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$e^{- 2 \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

단계 5.5.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 5.5.1.3.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{- 2 \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}}$

단계 5.5.1.3.2

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0^{+}} 2 x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}}$

단계 5.5.1.3.3

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}}$

단계 5.5.1.3.4

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}}$

단계 5.5.1.3.5

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

단계 5.5.1.3.6

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 5.5.1.3.6.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

단계 5.5.1.3.6.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}}$

단계 5.5.1.3.7

답을 간단히 합니다.

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단계 5.5.1.3.7.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}}$

단계 5.5.1.3.7.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$e^{- 2 \frac{0}{1 \cdot \sin (2 \cdot 0)}}$

단계 5.5.1.3.7.3

$\sin (2 \cdot 0)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- 2 \frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}}$

단계 5.5.1.3.7.4

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{- 2 \frac{0}{\sin (0)}}$

단계 5.5.1.3.7.5

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

단계 5.5.1.3.7.6

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

단계 5.5.1.3.8

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

단계 5.5.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

단계 5.5.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}$

단계 5.5.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 5.5.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}}$

단계 5.5.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}}$

단계 5.5.3.3

$f (x) = \cos (2 x)$ , $g (x) = \sin (2 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

단계 5.5.3.4

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.5.3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

단계 5.5.3.4.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

단계 5.5.3.4.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

단계 5.5.3.5

$\cos (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{1} (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

단계 5.5.3.6

$\cos (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

단계 5.5.3.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{{\cos (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

단계 5.5.3.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

단계 5.5.3.9

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

단계 5.5.3.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

단계 5.5.3.11

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

단계 5.5.3.12

$\cos^{2} (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cdot \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

단계 5.5.3.13

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.5.3.13.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}}$

단계 5.5.3.13.2

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{2})$ 입니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

단계 5.5.3.13.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

단계 5.5.3.14

$\sin (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{1} (2 x) \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

단계 5.5.3.15

$\sin (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

단계 5.5.3.16

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - {\sin (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]}}$

단계 5.5.3.17

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

단계 5.5.3.18

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}}$

단계 5.5.3.19

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}}$

단계 5.5.3.20

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \cdot 1}}$

단계 5.5.3.21

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)}}$

단계 5.5.4

$2$ 및 $2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.4.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)}}$

단계 5.5.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.4.2.1

$2 \cos^{2} (2 x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (\cos^{2} (2 x)) - 2 \sin^{2} (2 x)}}$

단계 5.5.4.2.2

$- 2 \sin^{2} (2 x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (\cos^{2} (2 x)) + 2 \cdot - 1 \sin^{2} (2 x)}}$

단계 5.5.4.2.3

$2 (\cos^{2} (2 x)) + 2 (- \sin^{2} (2 x))$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x))}}$

단계 5.5.4.2.4

공약수로 약분합니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x))}}$

단계 5.5.4.2.5

수식을 다시 씁니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x)}}$

단계 5.6

극한값을 계산합니다.

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단계 5.6.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x)}}$

단계 5.6.2

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (2 x) - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

단계 5.6.3

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $\cos^{2} (2 x)$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{{(lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x))}^{2} - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

단계 5.6.4

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} 2 x) - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

단계 5.6.5

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

단계 5.6.6

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $\sin^{2} (2 x)$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - {(lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x))}^{2}}}$

단계 5.6.7

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - \sin^{2} (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}}$

단계 5.6.8

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - \sin^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

단계 5.7

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 5.7.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - \sin^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

단계 5.7.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (2 \cdot 0) - \sin^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

단계 5.7.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (2 \cdot 0) - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

단계 5.8

답을 간단히 합니다.

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단계 5.8.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 5.8.1.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (0) - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

단계 5.8.1.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$e^{- 2 \frac{0}{1^{2} - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

단계 5.8.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$e^{- 2 \frac{0}{1 - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

단계 5.8.1.4

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{- 2 \frac{0}{1 - \sin^{2} (0)}}$

단계 5.8.1.5

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$e^{- 2 \frac{0}{1 - 0^{2}}}$

단계 5.8.1.6

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$e^{- 2 \frac{0}{1 - 0}}$

단계 5.8.1.7

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{- 2 \frac{0}{1 + 0}}$

단계 5.8.1.8

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{- 2 (\frac{0}{1})}$

단계 5.8.2

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{- 2 \cdot 0}$

단계 5.8.3

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{0}$

단계 5.9

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$1$

단계 6

단측 극한 중 하나가 존재하지 않으면 극한이 존재하지 않습니다.

$존재하지 않음$