미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \sec (x)}{x}$

단계 1

삼각함수 항등식 적용하기

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단계 1.1

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)}}{x}$

단계 1.2

$\sin (x)$ 와 $\frac{1}{\cos (x)}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{x}$

단계 2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

단계 3

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 3.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 3.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 3.1.2.1

탄젠트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.2.3

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 3.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 3.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.2

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 3.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}$

단계 3.4

$\sec^{2} (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

단계 4

극한값을 계산합니다.

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단계 4.1

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $\sec^{2} (x)$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

${(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

단계 4.2

시컨트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

단계 5

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\sec^{2} (0)$

단계 6

답을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$1^{2}$

단계 6.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1$