미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{4 x}$

단계 1

$\frac{1}{4}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

단계 2

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 2.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 2.1.2.1

탄젠트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.3

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

단계 2.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

단계 2.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 2.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.2

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}$

단계 2.4

$\sec^{2} (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

단계 3

극한값을 계산합니다.

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단계 3.1

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $\sec^{2} (x)$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

단계 3.2

시컨트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$\frac{1}{4} \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

단계 4

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{4} \sec^{2} (0)$

단계 5

답을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{4} \cdot 1^{2}$

단계 5.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{4} \cdot 1$

단계 5.3

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4}$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{4}$

소수 형태:

$0.25$