미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (2 x)}{3 x}$

단계 1

$\frac{1}{3}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\arctan (2 x)}{x}$

단계 2

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 2.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \arctan (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 2.1.2.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.2

$2 x$ 에 $t$ 을 대입하고 $lim_{x \to 0} 2 x = 0$ 일 때 $t$ 가 $0$ 에 근접하게 합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{t \to 0} \arctan (t)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.3

$t$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 2.1.2.3.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\arctan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.2.3.2

$\arctan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 2.1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

단계 2.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

단계 2.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (2 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 2.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.2

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.2.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.2.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.3

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(2 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.4

$2 (x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 2^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.5

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.6

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.7

$2$ 와 $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 4 x^{2}} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.9

$\frac{2}{1 + 4 x^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 4 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.10

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{4 x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{4 x^{2} + 1}}{1}$

단계 2.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2}{4 x^{2} + 1} \cdot 1$

단계 2.5

$\frac{2}{4 x^{2} + 1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2}{4 x^{2} + 1}$

단계 3

극한값을 계산합니다.

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단계 3.1

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 x^{2} + 1}$

단계 3.2

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 4 x^{2} + 1}$

단계 3.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 4 x^{2} + 1}$

단계 3.4

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 4 x^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

단계 3.5

$4$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{4 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

단계 3.6

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

단계 3.7

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

단계 4

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{4 \cdot 0^{2} + 1}$

단계 5

답을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{3}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4 \cdot 0^{2} + 1}$

단계 5.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4 \cdot 0 + 1}$

단계 5.2.2

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{0 + 1}$

단계 5.2.3

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1}$

단계 5.3

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1}$

단계 5.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{3} \cdot 1$

단계 5.4

$\frac{2}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3}$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{2}{3}$

소수 형태:

$0.\overline{6}$