미적분 예제

$lim_{x \to 0} (x^{2}) \csc^{2} (x)$

단계 1

$(x^{2}) \csc^{2} (x)$ 을 $\frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

단계 2

극한을 좌극한으로 설정합니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

단계 3

좌극한 값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

단계 3.1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.2.1

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

단계 3.1.1.2.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

단계 3.1.1.2.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

단계 3.1.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

단계 3.1.1.3.2

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{0}{0}$

단계 3.1.1.3.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 3.1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 3.1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

단계 3.1.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

단계 3.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

단계 3.1.3.3

$f (x) = x^{- 2}$ , $g (x) = \csc (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\csc (x)$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

단계 3.1.3.3.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

단계 3.1.3.3.3

$u$ 를 모두 $\csc (x)$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

단계 3.1.3.4

$\csc (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \csc (x) \cot (x)$ 입니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

단계 3.1.3.5

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

단계 3.1.3.6

$\csc (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

단계 3.1.3.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

단계 3.1.3.8

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

단계 3.1.3.9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.9.1

$\csc (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

단계 3.1.3.9.2

밑을 역수로 만들어 지수의 부호를 바꿉니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

단계 3.1.3.9.3

$\cot (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 3.1.3.9.4

$\sin (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.9.4.1

$2 \sin^{2} (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 3.1.3.9.4.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 3.1.3.9.4.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \sin (x) \cos (x)}$

단계 3.1.3.9.5

사인 배각 공식을 적용합니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (2 x)}$

단계 3.2

$x$ 가 $0$ 에 한없이 가까워질 때 $\frac{2 x}{\sin (2 x)}$ 의 극한값은 $1$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} 2 x}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (2 x)}$

단계 3.2.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.1

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2 lim_{x \to 0^{-}} x}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (2 x)}$

단계 3.2.1.2.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (2 x)}$

단계 3.2.1.2.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (2 x)}$

단계 3.2.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.3.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.3.1.1

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0^{-}} 2 x)}$

단계 3.2.1.3.1.2

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0^{-}} x)}$

단계 3.2.1.3.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

단계 3.2.1.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.3.3.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{\sin (0)}$

단계 3.2.1.3.3.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0}{0}$

단계 3.2.1.3.3.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 3.2.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 3.2.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 3.2.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

단계 3.2.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

단계 3.2.3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

단계 3.2.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

단계 3.2.3.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

단계 3.2.3.5

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

단계 3.2.3.5.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

단계 3.2.3.5.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

단계 3.2.3.6

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

단계 3.2.3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}$

단계 3.2.3.8

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (2 x) \cdot 2}$

단계 3.2.3.9

$\cos (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

단계 3.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

단계 3.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cos (2 x)}$

단계 3.2.5

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ 을 $\sec (2 x)$ 로 변환합니다.

$lim_{x \to 0^{-}} \sec (2 x)$

단계 3.2.6

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.6.1

시컨트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$\sec (lim_{x \to 0^{-}} 2 x)$

단계 3.2.6.2

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\sec (2 lim_{x \to 0^{-}} x)$

단계 3.2.7

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\sec (2 \cdot 0)$

단계 3.2.8

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.8.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\sec (0)$

단계 3.2.8.2

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$1$

단계 4

극한을 우극한으로 설정합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

단계 5

우극한 값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

단계 5.1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.2.1

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

단계 5.1.1.2.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

단계 5.1.1.2.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

단계 5.1.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

단계 5.1.1.3.2

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{0}{0}$

단계 5.1.1.3.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 5.1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 5.1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

단계 5.1.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

단계 5.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

단계 5.1.3.3

$f (x) = x^{- 2}$ , $g (x) = \csc (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\csc (x)$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

단계 5.1.3.3.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

단계 5.1.3.3.3

$u$ 를 모두 $\csc (x)$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

단계 5.1.3.4

$\csc (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \csc (x) \cot (x)$ 입니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

단계 5.1.3.5

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

단계 5.1.3.6

$\csc (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

단계 5.1.3.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

단계 5.1.3.8

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

단계 5.1.3.9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.9.1

$\csc (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

단계 5.1.3.9.2

밑을 역수로 만들어 지수의 부호를 바꿉니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

단계 5.1.3.9.3

$\cot (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 5.1.3.9.4

$\sin (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.9.4.1

$2 \sin^{2} (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 5.1.3.9.4.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

단계 5.1.3.9.4.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \sin (x) \cos (x)}$

단계 5.1.3.9.5

사인 배각 공식을 적용합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (2 x)}$

단계 5.2

$x$ 가 $0$ 에 한없이 가까워질 때 $\frac{2 x}{\sin (2 x)}$ 의 극한값은 $1$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} 2 x}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}$

단계 5.2.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.2.1

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2 lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}$

단계 5.2.1.2.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}$

단계 5.2.1.2.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}$

단계 5.2.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.3.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.3.1.1

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}$

단계 5.2.1.3.1.2

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}$

단계 5.2.1.3.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

단계 5.2.1.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.3.3.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{\sin (0)}$

단계 5.2.1.3.3.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0}{0}$

단계 5.2.1.3.3.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 5.2.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 5.2.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 5.2.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

단계 5.2.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 5.2.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

단계 5.2.3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

단계 5.2.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

단계 5.2.3.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

단계 5.2.3.5

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.2.3.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

단계 5.2.3.5.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

단계 5.2.3.5.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

단계 5.2.3.6

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

단계 5.2.3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}$

단계 5.2.3.8

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) \cdot 2}$

단계 5.2.3.9

$\cos (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

단계 5.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

단계 5.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cos (2 x)}$

단계 5.2.5

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ 을 $\sec (2 x)$ 로 변환합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \sec (2 x)$

단계 5.2.6

극한값을 계산합니다.

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단계 5.2.6.1

시컨트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$\sec (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)$

단계 5.2.6.2

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\sec (2 lim_{x \to 0^{+}} x)$

단계 5.2.7

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\sec (2 \cdot 0)$

단계 5.2.8

답을 간단히 합니다.

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단계 5.2.8.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\sec (0)$

단계 5.2.8.2

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$1$

단계 6

좌극한이 우극한과 같으므로 극한값은 $1$ 입니다.

$1$