미적분 예제

lim x \to 0 \frac{sin (x)}{3 x} + \frac{2 x}{tan (4 x)}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

단계 1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.1

$x$ 가

$0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

단계 1.2

$\frac{1}{3}$ 항은

$x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

단계 2

$\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ 및

$lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ 부터 샌드위치 정리를 적용합니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

단계 3

$2$ 항은

$x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (4 x)}$

단계 4

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 4.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \tan (4 x)}$

단계 4.1.2

$x$ 에

$0$ 을 대입하여

$x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (4 x)}$

단계 4.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 4.1.3.1

극한값을 계산합니다.

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단계 4.1.3.1.1

탄젠트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 4 x)}$

단계 4.1.3.1.2

$4$ 항은

$x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (4 lim_{x \to 0} x)}$

단계 4.1.3.2

$x$ 에

$0$ 을 대입하여

$x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (4 \cdot 0)}$

단계 4.1.3.3

답을 간단히 합니다.

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단계 4.1.3.3.1

$4$ 에

$0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (0)}$

단계 4.1.3.3.2

$\tan (0)$ 의 정확한 값은

$0$ 입니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

단계 4.1.3.3.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

단계 4.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

단계 4.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

단계 4.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (4 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

단계 4.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 4.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

단계 4.3.2

$n = 1$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

단계 4.3.3

$f (x) = \tan (x)$ ,

$g (x) = 4 x$ 일 때

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는

$f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해

$u$ 를

$4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [4 x]}$

단계 4.3.3.2

$\tan (u)$ 를

$u$ 에 대해 미분하면

$\sec^{2} (u)$ 입니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [4 x]}$

단계 4.3.3.3

$u$ 를 모두

$4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}$

단계 4.3.4

$4$ 은

$x$ 에 대해 일정하므로

$x$ 에 대한

$4 x$ 의 미분은

$4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}$

단계 4.3.5

$n = 1$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \cdot 4 \cdot 1}$

단계 4.3.6

$4$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \cdot 4}$

단계 4.3.7

$\sec^{2} (4 x)$ 의 왼쪽으로

$4$ 이동하기

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \sec^{2} (4 x)}$

단계 5

극한값을 계산합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{4}$ 항은

$x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x)}$

단계 5.2

$x$ 가

$0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (4 x)}$

단계 5.3

$x$ 가

$0$ 에 가까워질 때 상수값

$1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (4 x)}$

단계 5.4

극한의 멱의 법칙을 이용하여

$\sec^{2} (4 x)$ 의 지수

$2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{{(lim_{x \to 0} \sec (4 x))}^{2}}$

단계 5.5

시컨트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 4 x)}$

단계 5.6

$4$ 항은

$x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (4 lim_{x \to 0} x)}$

단계 6

$x$ 에

$0$ 을 대입하여

$x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

단계 7

답을 간단히 합니다.

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단계 7.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.1.1

$\frac{1}{3}$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

단계 7.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.1.2.1

$4$ 에서

$2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{3} + 2 \frac{1}{2 (2)} \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

단계 7.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3} + 2 \frac{1}{2 \cdot 2} \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

단계 7.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

단계 7.1.3

조합합니다.

$\frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 1}{2 \sec^{2} (4 \cdot 0)}$

단계 7.1.4

$1$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \sec^{2} (4 \cdot 0)}$

단계 7.1.5

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.5.1

$4$ 에

$0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \sec^{2} (0)}$

단계 7.1.5.2

$\sec (0)$ 의 정확한 값은

$1$ 입니다.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}$

단계 7.1.5.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \cdot 1}$

단계 7.1.6

$2$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

단계 7.2

공통 분모를 가지는 분수로

$\frac{1}{3}$ 을 표현하기 위해

$\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

단계 7.3

공통 분모를 가지는 분수로

$\frac{1}{2}$ 을 표현하기 위해

$\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

단계 7.4

각 수식에 적절한 인수

$1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두

$6$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 7.4.1

$\frac{1}{3}$ 에

$\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

단계 7.4.2

$3$ 에

$2$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

단계 7.4.3

$\frac{1}{2}$ 에

$\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

단계 7.4.4

$2$ 에

$3$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

단계 7.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 + 3}{6}$

단계 7.6

$2$ 를

$3$ 에 더합니다.

$\frac{5}{6}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{5}{6}$

소수 형태:

$0.8\overline{3}$