미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{5^{x}}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{5}}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

단계 1.1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

단계 1.1.3

지수

$x$ 이

$\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량

$5^{x}$ 가

$\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 1.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 1.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{5^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

단계 1.3.2

$n = 5$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

단계 1.3.3

$a$ =

$5$ 일 때

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은

$a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{5^{x} \ln (5)}$

단계 2

$\frac{5}{\ln (5)}$ 항은

$x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{5}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{5^{x}}$

단계 3

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

단계 3.1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

단계 3.1.3

지수

$x$ 이

$\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량

$5^{x}$ 가

$\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

단계 3.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

단계 3.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{5^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

단계 3.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{5}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

단계 3.3.2

$n = 4$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

단계 3.3.3

$a$ =

$5$ 일 때

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은

$a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{5^{x} \ln (5)}$

단계 4

$\frac{4}{\ln (5)}$ 항은

$x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{5^{x}}$

단계 5

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

단계 5.1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

단계 5.1.3

지수

$x$ 이

$\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량

$5^{x}$ 가

$\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{\infty}{\infty}$

단계 5.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{\infty}{\infty}$

단계 5.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{5^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

단계 5.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

단계 5.3.2

$n = 3$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

단계 5.3.3

$a$ =

$5$ 일 때

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은

$a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{5^{x} \ln (5)}$

단계 6

$\frac{3}{\ln (5)}$ 항은

$x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{5^{x}}$

단계 7

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

단계 7.1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

단계 7.1.3

지수

$x$ 이

$\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량

$5^{x}$ 가

$\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{\infty}{\infty}$

단계 7.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{\infty}{\infty}$

단계 7.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{5^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

단계 7.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

단계 7.3.2

$n = 2$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

단계 7.3.3

$a$ =

$5$ 일 때

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은

$a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{5^{x} \ln (5)}$

단계 8

$\frac{2}{\ln (5)}$ 항은

$x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{x}{5^{x}}$

단계 9

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

단계 9.1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

단계 9.1.3

지수

$x$ 이

$\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량

$5^{x}$ 가

$\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{\infty}{\infty}$

단계 9.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{\infty}{\infty}$

단계 9.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{5^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

단계 9.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

단계 9.3.2

$n = 1$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

단계 9.3.3

$a$ =

$5$ 일 때

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은

$a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{5^{x} \ln (5)}$

단계 10

$\frac{1}{\ln (5)}$ 항은

$x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{5^{x}}$

단계 11

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수

$\frac{1}{5^{x}}$ 는

$0$ 에 가까워집니다.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

단계 12

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

$\frac{5}{\ln (5)}$ 에

$\frac{4}{\ln (5)}$ 을 곱합니다.

$\frac{5 \cdot 4}{\ln (5) \ln (5)} \cdot \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

단계 12.1.2

$5$ 에

$4$ 을 곱합니다.

$\frac{20}{\ln (5) \ln (5)} \cdot \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

단계 12.1.3

$\ln (5)$ 를

$1$ 승 합니다.

$\frac{20}{\ln^{1} (5) \ln (5)} \cdot \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

단계 12.1.4

$\ln (5)$ 를

$1$ 승 합니다.

$\frac{20}{\ln^{1} (5) \ln^{1} (5)} \cdot \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

단계 12.1.5

지수 법칙

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{20}{{\ln (5)}^{1 + 1}} \cdot \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

단계 12.1.6

$1$ 를

$1$ 에 더합니다.

$\frac{20}{\ln^{2} (5)} \cdot \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

단계 12.2

조합합니다.

$\frac{20 \cdot 3}{\ln^{2} (5) \ln (5)} \cdot \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

단계 12.3

조합합니다.

$\frac{20 \cdot 3 \cdot 2}{\ln^{2} (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

단계 12.4

조합합니다.

$\frac{20 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{\ln^{2} (5) \ln (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

단계 12.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.1

$20$ 에

$3$ 을 곱합니다.

$\frac{60 \cdot 2 \cdot 1}{\ln^{2} (5) \ln (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

단계 12.5.2

$60$ 에

$2$ 을 곱합니다.

$\frac{120 \cdot 1}{\ln^{2} (5) \ln (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

단계 12.5.3

$120$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{120}{\ln^{2} (5) \ln (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

단계 12.6

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.6.1

$\ln (5)$ 를

$1$ 승 합니다.

$\frac{120}{\ln^{2} (5) \ln^{1} (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

단계 12.6.2

지수 법칙

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{120}{{\ln (5)}^{2 + 1} \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

단계 12.6.3

$2$ 를

$1$ 에 더합니다.

$\frac{120}{\ln^{3} (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

단계 12.6.4

$\ln (5)$ 를

$1$ 승 합니다.

$\frac{120}{\ln^{3} (5) \ln^{1} (5) \ln (5)} \cdot 0$

단계 12.6.5

지수 법칙

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{120}{{\ln (5)}^{3 + 1} \ln (5)} \cdot 0$

단계 12.6.6

$3$ 를

$1$ 에 더합니다.

$\frac{120}{\ln^{4} (5) \ln (5)} \cdot 0$

단계 12.6.7

지수를 더하여

$\ln^{4} (5)$ 에

$\ln (5)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.6.7.1

$\ln^{4} (5)$ 에

$\ln (5)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.6.7.1.1

$\ln (5)$ 를

$1$ 승 합니다.

$\frac{120}{\ln^{4} (5) \ln^{1} (5)} \cdot 0$

단계 12.6.7.1.2

지수 법칙

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{120}{{\ln (5)}^{4 + 1}} \cdot 0$

단계 12.6.7.2

$4$ 를

$1$ 에 더합니다.

$\frac{120}{\ln^{5} (5)} \cdot 0$

단계 12.7

$\frac{120}{\ln^{5} (5)}$ 에

$0$ 을 곱합니다.

$0$