미적분 예제

$y = \cos (11 x)$ , $y = 0$ , $x = \frac{π}{22}$ , $x = \frac{π}{11}$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$\cos (11 x) = 0$

단계 1.2

$\cos (11 x) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$11 x = \arccos (0)$

단계 1.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$\arccos (0)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$11 x = \frac{π}{2}$

단계 1.2.3

$11 x = \frac{π}{2}$ 의 각 항을 $11$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$11 x = \frac{π}{2}$ 의 각 항을 $11$ 로 나눕니다.

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

단계 1.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$11$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

단계 1.2.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

단계 1.2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{11}$

단계 1.2.3.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{11}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.2.1

$\frac{π}{2}$ 에 $\frac{1}{11}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π}{2 \cdot 11}$

단계 1.2.3.3.2.2

$2$ 에 $11$ 을 곱합니다.

$x = \frac{π}{22}$

단계 1.2.4

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$11 x = 2 π - \frac{π}{2}$

단계 1.2.5

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$11 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 1.2.5.1.2

$2 π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$11 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 1.2.5.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$11 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

단계 1.2.5.1.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$11 x = \frac{4 π - π}{2}$

단계 1.2.5.1.5

$4 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$11 x = \frac{3 π}{2}$

단계 1.2.5.2

$11 x = \frac{3 π}{2}$ 의 각 항을 $11$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.1

$11 x = \frac{3 π}{2}$ 의 각 항을 $11$ 로 나눕니다.

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

단계 1.2.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.2.1

$11$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

단계 1.2.5.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

단계 1.2.5.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{11}$

단계 1.2.5.2.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{11}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ 에 $\frac{1}{11}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 11}$

단계 1.2.5.2.3.2.2

$2$ 에 $11$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 π}{22}$

단계 1.2.6

$\cos (11 x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 1.2.6.2

주기 공식에서 $b$ 에 $11$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 11 |}$

단계 1.2.6.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $11$ 사이의 거리는 $11$ 입니다.

$\frac{2 π}{11}$

단계 1.2.7

함수 $\cos (11 x)$ 의 주기는 $\frac{2 π}{11}$ 이므로 양 방향으로 $\frac{2 π}{11}$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{22} + \frac{2 π n}{11}, \frac{3 π}{22} + \frac{2 π n}{11}$

단계 1.2.8

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$

단계 1.3

$x$ 에 $\frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$ 를 대입합니다.

$y = 0$

단계 1.4

모든 해를 나열합니다.

$y = 0, x = \frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$

단계 2

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} 0 d x - \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} \cos (11 x) d x$

단계 3

$\frac{π}{22}$ 과(와) $\frac{π}{11}$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} 0 - (\cos (11 x)) d x$

단계 3.2

$0$ 에서 $\cos (11 x)$ 을 뺍니다.

$\int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} - \cos (11 x) d x$

단계 3.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} \cos (11 x) d x$

단계 3.4

먼저 $u = 11 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 11 d x$ 이므로 $\frac{1}{11} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$u = 11 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

$11 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [11 x]$

단계 3.4.1.2

$11$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $11 x$ 의 미분은 $11 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$11 \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$11 \cdot 1$

단계 3.4.1.4

$11$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$11$

단계 3.4.2

$u = 11 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 11 \frac{π}{22}$

단계 3.4.3

$11$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$22$ 에서 $11$ 를 인수분해합니다.

$u_{lower} = 11 \frac{π}{11 (2)}$

단계 3.4.3.2

공약수로 약분합니다.

$u_{lower} = 11 \frac{π}{11 \cdot 2}$

단계 3.4.3.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

단계 3.4.4

$u = 11 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 11 \frac{π}{11}$

단계 3.4.5

$11$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = 11 \frac{π}{11}$

단계 3.4.5.2

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = π$

단계 3.4.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

단계 3.4.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$- \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) \frac{1}{11} d u$

단계 3.5

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{11}$ 을 묶습니다.

$- \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{\cos (u)}{11} d u$

단계 3.6

$\frac{1}{11}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{11}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{11} \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) d u)$

단계 3.7

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$- \frac{1}{11} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}$

단계 3.8

$π$ , $\frac{π}{2}$ 일 때, $\sin (u)$ 값을 계산합니다.

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - \sin (\frac{π}{2}))$

단계 3.9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - 1 \cdot 1)$

단계 3.9.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - 1)$

단계 3.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$- \frac{1}{11} (\sin (0) - 1)$

단계 3.10.1.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$- \frac{1}{11} (0 - 1)$

단계 3.10.2

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{11} \cdot - 1$

단계 3.10.3

$- \frac{1}{11} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (\frac{1}{11})$

단계 3.10.3.2

$\frac{1}{11}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{11}$

단계 4