미적분 예제

$y = x^{2} - 4 x + 3$ , $y = x - 1$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$x^{2} - 4 x + 3 = x - 1$

단계 1.2

$x^{2} - 4 x + 3 = x - 1$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$x^{2} - 4 x + 3 - x = - 1$

단계 1.2.1.2

$- 4 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$x^{2} - 5 x + 3 = - 1$

단계 1.2.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x^{2} - 5 x + 3 + 1 = 0$

단계 1.2.3

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x^{2} - 5 x + 4 = 0$

단계 1.2.4

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 5 x + 4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $4$ 이고 합은 $- 5$ 입니다.

$- 4, - 1 + y = x - 1$

단계 1.2.4.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 4) (x - 1) = 0$

단계 1.2.5

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 4 = 0$

$x - 1 = 0 + y = x - 1$

단계 1.2.6

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 1.2.6.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 1.2.7

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 1.2.7.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 1.2.8

$(x - 4) (x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 4, 1$

단계 1.3

$x = 4$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x$ 에 $4$ 를 대입합니다.

$y = (4) - 1$

단계 1.3.2

$y = (4) - 1$ 에서 $x$ 에 $4$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 4 - 1$

단계 1.3.2.2

괄호를 제거합니다.

$y = (4) - 1$

단계 1.3.2.3

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$y = 3$

단계 1.4

$x = 1$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$y = (1) - 1$

단계 1.4.2

$y = (1) - 1$ 에서 $x$ 에 $1$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 1 - 1$

단계 1.4.2.2

괄호를 제거합니다.

$y = (1) - 1$

단계 1.4.2.3

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$y = 0$

단계 1.5

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(4, 3)$

$(1, 0)$

$(4, 3)$

$(1, 0)$

단계 2

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{1}^{4} x - 1 d x - \int_{1}^{4} x^{2} - 4 x + 3 d x$

단계 3

$1$ 과(와) $4$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{1}^{4} x - 1 - (x^{2} - 4 x + 3) d x$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x - 1 - x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 3$

단계 3.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x - 1 - x^{2} + 4 x - 1 \cdot 3$

단계 3.2.2.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x - 1 - x^{2} + 4 x - 3$

$\int_{1}^{4} x - 1 - x^{2} + 4 x - 3 d x$

단계 3.3

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$x$ 를 $4 x$ 에 더합니다.

$5 x - 1 - x^{2} - 3$

단계 3.3.2

$- 1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$5 x - x^{2} - 4$

$\int_{1}^{4} 5 x - x^{2} - 4 d x$

단계 3.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{1}^{4} 5 x d x + \int_{1}^{4} - x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

단계 3.5

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} - x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

단계 3.6

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

단계 3.7

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

단계 3.8

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - \int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

단계 3.9

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 4 d x$

단계 3.10

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 4 d x$

단계 3.11

상수 규칙을 적용합니다.

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + - 4 x]_{1}^{4}$

단계 3.12

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.1

$4$ , $1$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$5 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + - 4 x]_{1}^{4}$

단계 3.12.2

$4$ , $1$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$5 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + - 4 x]_{1}^{4}$

단계 3.12.3

$4$ , $1$ 일 때, $- 4 x$ 값을 계산합니다.

$5 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.4.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$5 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4.2

$16$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.4.2.1

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$5 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.4.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$5 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$5 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$5 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4.2.2.4

$8$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$5 (8 - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$5 (8 - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4.4

공통 분모를 가지는 분수로 $8$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$5 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4.5

$8$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$5 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$5 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.4.7.1

$8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$5 \frac{16 - 1}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4.7.2

$16$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$5 (\frac{15}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4.8

$5$ 와 $\frac{15}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 \cdot 15}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4.9

$5$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$\frac{75}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4.10

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{75}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4.11

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{75}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{1}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4.12

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{75}{2} - \frac{64 - 1}{3} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4.13

$64$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{75}{2} - \frac{63}{3} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4.14

$63$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.4.14.1

$63$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{75}{2} - \frac{3 \cdot 21}{3} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4.14.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.4.14.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{75}{2} - \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4.14.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{75}{2} - \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4.14.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{75}{2} - \frac{21}{1} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4.14.2.4

$21$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{75}{2} - 1 \cdot 21 + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4.15

$- 1$ 에 $21$ 을 곱합니다.

$\frac{75}{2} - 21 + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4.16

공통 분모를 가지는 분수로 $- 21$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{75}{2} - 21 \cdot \frac{2}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4.17

$- 21$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{75}{2} + \frac{- 21 \cdot 2}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4.18

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{75 - 21 \cdot 2}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4.19

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.4.19.1

$- 21$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{75 - 42}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4.19.2

$75$ 에서 $42$ 을 뺍니다.

$\frac{33}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4.20

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{33}{2} - 16 + 4 \cdot 1$

단계 3.12.4.21

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{33}{2} - 16 + 4$

단계 3.12.4.22

$- 16$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{33}{2} - 12$

단계 3.12.4.23

공통 분모를 가지는 분수로 $- 12$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{33}{2} - 12 \cdot \frac{2}{2}$

단계 3.12.4.24

$- 12$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{33}{2} + \frac{- 12 \cdot 2}{2}$

단계 3.12.4.25

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{33 - 12 \cdot 2}{2}$

단계 3.12.4.26

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.4.26.1

$- 12$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{33 - 24}{2}$

단계 3.12.4.26.2

$33$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$\frac{9}{2}$

단계 4