미적분 예제

$y = x^{2} - 5 x + 6$ , $y = x - 2$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$x^{2} - 5 x + 6 = x - 2$

단계 1.2

$x^{2} - 5 x + 6 = x - 2$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$x^{2} - 5 x + 6 - x = - 2$

단계 1.2.1.2

$- 5 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$x^{2} - 6 x + 6 = - 2$

단계 1.2.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x^{2} - 6 x + 6 + 2 = 0$

단계 1.2.3

$6$ 를 $2$ 에 더합니다.

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$

단계 1.2.4

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 6 x + 8$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $8$ 이고 합은 $- 6$ 입니다.

$- 4, - 2 + y = x - 2$

단계 1.2.4.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 4) (x - 2) = 0$

단계 1.2.5

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0 + y = x - 2$

단계 1.2.6

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 1.2.6.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 1.2.7

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 1.2.7.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 1.2.8

$(x - 4) (x - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 4, 2$

단계 1.3

$x = 4$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x$ 에 $4$ 를 대입합니다.

$y = (4) - 2$

단계 1.3.2

$y = (4) - 2$ 에서 $x$ 에 $4$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 4 - 2$

단계 1.3.2.2

괄호를 제거합니다.

$y = (4) - 2$

단계 1.3.2.3

$4$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$y = 2$

단계 1.4

$x = 2$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x$ 에 $2$ 를 대입합니다.

$y = (2) - 2$

단계 1.4.2

$y = (2) - 2$ 에서 $x$ 에 $2$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 2 - 2$

단계 1.4.2.2

괄호를 제거합니다.

$y = (2) - 2$

단계 1.4.2.3

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$y = 0$

단계 1.5

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(4, 2)$

$(2, 0)$

$(4, 2)$

$(2, 0)$

단계 2

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{2}^{4} x - 2 d x - \int_{2}^{4} x^{2} - 5 x + 6 d x$

단계 3

$2$ 과(와) $4$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{2}^{4} x - 2 - (x^{2} - 5 x + 6) d x$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x - 2 - x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 6$

단계 3.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$- 5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x - 2 - x^{2} + 5 x - 1 \cdot 6$

단계 3.2.2.2

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$x - 2 - x^{2} + 5 x - 6$

$\int_{2}^{4} x - 2 - x^{2} + 5 x - 6 d x$

단계 3.3

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$x$ 를 $5 x$ 에 더합니다.

$6 x - 2 - x^{2} - 6$

단계 3.3.2

$- 2$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$6 x - x^{2} - 8$

$\int_{2}^{4} 6 x - x^{2} - 8 d x$

단계 3.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{2}^{4} 6 x d x + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

단계 3.5

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 \int_{2}^{4} x d x + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

단계 3.6

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

단계 3.7

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

단계 3.8

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - \int_{2}^{4} x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

단계 3.9

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - 8 d x$

단계 3.10

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - 8 d x$

단계 3.11

상수 규칙을 적용합니다.

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}) + - 8 x]_{2}^{4}$

단계 3.12

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.1

$4$ , $2$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}) + - 8 x]_{2}^{4}$

단계 3.12.2

$4$ , $2$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$6 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + - 8 x]_{2}^{4}$

단계 3.12.3

$4$ , $2$ 일 때, $- 8 x$ 값을 계산합니다.

$6 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

단계 3.12.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.4.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$6 (\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

단계 3.12.4.2

$16$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.4.2.1

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$6 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

단계 3.12.4.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.4.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$6 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

단계 3.12.4.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$6 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

단계 3.12.4.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$6 (\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

단계 3.12.4.2.2.4

$8$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$6 (8 - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

단계 3.12.4.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$6 (8 - \frac{4}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

단계 3.12.4.4

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.4.4.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

단계 3.12.4.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.4.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

단계 3.12.4.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

단계 3.12.4.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$6 (8 - \frac{2}{1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

단계 3.12.4.4.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$6 (8 - 1 \cdot 2) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

단계 3.12.4.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 (8 - 2) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

단계 3.12.4.6

$8$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$6 \cdot 6 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

단계 3.12.4.7

$6$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$36 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

단계 3.12.4.8

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$36 - (\frac{64}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

단계 3.12.4.9

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$36 - (\frac{64}{3} - \frac{8}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

단계 3.12.4.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$36 - \frac{64 - 8}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

단계 3.12.4.11

$64$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$36 - \frac{56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

단계 3.12.4.12

공통 분모를 가지는 분수로 $36$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$36 \cdot \frac{3}{3} - \frac{56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

단계 3.12.4.13

$36$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{36 \cdot 3}{3} - \frac{56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

단계 3.12.4.14

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{36 \cdot 3 - 56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

단계 3.12.4.15

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.4.15.1

$36$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{108 - 56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

단계 3.12.4.15.2

$108$ 에서 $56$ 을 뺍니다.

$\frac{52}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

단계 3.12.4.16

$- 8$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{52}{3} - 32 + 8 \cdot 2$

단계 3.12.4.17

$8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{52}{3} - 32 + 16$

단계 3.12.4.18

$- 32$ 를 $16$ 에 더합니다.

$\frac{52}{3} - 16$

단계 3.12.4.19

공통 분모를 가지는 분수로 $- 16$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{52}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3}$

단계 3.12.4.20

$- 16$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{52}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3}$

단계 3.12.4.21

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{52 - 16 \cdot 3}{3}$

단계 3.12.4.22

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.4.22.1

$- 16$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{52 - 48}{3}$

단계 3.12.4.22.2

$52$ 에서 $48$ 을 뺍니다.

$\frac{4}{3}$

단계 4