미적분 예제

$y = x^{2} - 2 x$ , $y = x + 4$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

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단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$x^{2} - 2 x = x + 4$

단계 1.2

$x^{2} - 2 x = x + 4$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.1

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 1.2.1.1

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$x^{2} - 2 x - x = 4$

단계 1.2.1.2

$- 2 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$x^{2} - 3 x = 4$

단계 1.2.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

단계 1.2.3

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 3 x - 4$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.2.3.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 4$ 이고 합은 $- 3$ 입니다.

$- 4, 1 + y = x + 4$

단계 1.2.3.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

단계 1.2.4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0 + y = x + 4$

단계 1.2.5

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 1.2.5.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 1.2.5.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 1.2.6

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 1.2.6.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 1.2.6.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 1.2.7

$(x - 4) (x + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 4, - 1$

단계 1.3

$x = 4$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$x$ 에 $4$ 를 대입합니다.

$y = (4) + 4$

단계 1.3.2

$y = (4) + 4$ 에서 $x$ 에 $4$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

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단계 1.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 4 + 4$

단계 1.3.2.2

괄호를 제거합니다.

$y = (4) + 4$

단계 1.3.2.3

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$y = 8$

단계 1.4

$x = - 1$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$x$ 에 $- 1$ 를 대입합니다.

$y = (- 1) + 4$

단계 1.4.2

$y = (- 1) + 4$ 에서 $x$ 에 $- 1$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

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단계 1.4.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = - 1 + 4$

단계 1.4.2.2

괄호를 제거합니다.

$y = (- 1) + 4$

단계 1.4.2.3

$- 1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$y = 3$

단계 1.5

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(4, 8)$

$(- 1, 3)$

$(4, 8)$

$(- 1, 3)$

단계 2

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{- 1}^{4} x + 4 d x - \int_{- 1}^{4} x^{2} - 2 x d x$

단계 3

$- 1$ 과(와) $4$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

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단계 3.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{- 1}^{4} x + 4 - (x^{2} - 2 x) d x$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x + 4 - x^{2} - (- 2 x)$

단계 3.2.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x + 4 - x^{2} + 2 x$

$\int_{- 1}^{4} x + 4 - x^{2} + 2 x d x$

단계 3.3

$x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\int_{- 1}^{4} 3 x + 4 - x^{2} d x$

단계 3.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 1}^{4} 3 x d x + \int_{- 1}^{4} 4 d x + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

단계 3.5

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \int_{- 1}^{4} x d x + \int_{- 1}^{4} 4 d x + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

단계 3.6

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 4 d x + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

단계 3.7

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 4 d x + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

단계 3.8

상수 규칙을 적용합니다.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + 4 x]_{- 1}^{4} + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

단계 3.9

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + 4 x]_{- 1}^{4} - \int_{- 1}^{4} x^{2} d x$

단계 3.10

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + 4 x]_{- 1}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{4})$

단계 3.11

답을 간단히 합니다.

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단계 3.11.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + 4 x]_{- 1}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4})$

단계 3.11.2

대입하여 간단히 합니다.

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단계 3.11.2.1

$4$ , $- 1$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 x]_{- 1}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4})$

단계 3.11.2.2

$4$ , $- 1$ 일 때, $4 x$ 값을 계산합니다.

$3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4})$

단계 3.11.2.3

$4$ , $- 1$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

단계 3.11.2.4

간단히 합니다.

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단계 3.11.2.4.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$3 (\frac{16}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

단계 3.11.2.4.2

$16$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.2.4.2.1

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

단계 3.11.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.11.2.4.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

단계 3.11.2.4.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

단계 3.11.2.4.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$3 (\frac{8}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

단계 3.11.2.4.2.2.4

$8$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 (8 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

단계 3.11.2.4.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$3 (8 - \frac{1}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

단계 3.11.2.4.4

공통 분모를 가지는 분수로 $8$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$3 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

단계 3.11.2.4.5

$8$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

단계 3.11.2.4.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

단계 3.11.2.4.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.2.4.7.1

$8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 \frac{16 - 1}{2} + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

단계 3.11.2.4.7.2

$16$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$3 (\frac{15}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

단계 3.11.2.4.8

$3$ 와 $\frac{15}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 \cdot 15}{2} + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

단계 3.11.2.4.9

$3$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$\frac{45}{2} + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

단계 3.11.2.4.10

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{45}{2} + 16 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

단계 3.11.2.4.11

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{45}{2} + 16 + 4 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

단계 3.11.2.4.12

$16$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{45}{2} + 20 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

단계 3.11.2.4.13

공통 분모를 가지는 분수로 $20$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{45}{2} + 20 \cdot \frac{2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

단계 3.11.2.4.14

$20$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{45}{2} + \frac{20 \cdot 2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

단계 3.11.2.4.15

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{45 + 20 \cdot 2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

단계 3.11.2.4.16

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.2.4.16.1

$20$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{45 + 40}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

단계 3.11.2.4.16.2

$45$ 를 $40$ 에 더합니다.

$\frac{85}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

단계 3.11.2.4.17

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

단계 3.11.2.4.18

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 1}{3})$

단계 3.11.2.4.19

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} - - \frac{1}{3})$

단계 3.11.2.4.20

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

단계 3.11.2.4.21

$\frac{1}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} + \frac{1}{3})$

단계 3.11.2.4.22

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{85}{2} - \frac{64 + 1}{3}$

단계 3.11.2.4.23

$64$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{85}{2} - \frac{65}{3}$

단계 3.11.2.4.24

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{85}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{85}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{65}{3}$

단계 3.11.2.4.25

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{65}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{85}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2}$

단계 3.11.2.4.26

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.2.4.26.1

$\frac{85}{2}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{85 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2}$

단계 3.11.2.4.26.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{85 \cdot 3}{6} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2}$

단계 3.11.2.4.26.3

$\frac{65}{3}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{85 \cdot 3}{6} - \frac{65 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

단계 3.11.2.4.26.4

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{85 \cdot 3}{6} - \frac{65 \cdot 2}{6}$

단계 3.11.2.4.27

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{85 \cdot 3 - 65 \cdot 2}{6}$

단계 3.11.2.4.28

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.2.4.28.1

$85$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{255 - 65 \cdot 2}{6}$

단계 3.11.2.4.28.2

$- 65$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{255 - 130}{6}$

단계 3.11.2.4.28.3

$255$ 에서 $130$ 을 뺍니다.

$\frac{125}{6}$

단계 4