미적분 예제

$y = e^{0.4 x}$ , $y = 5 + x^{2}$ , $x = 2$ , $x = 3$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

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단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$e^{0.4 x} = 5 + x^{2}$

단계 1.2

방정식의 각 변을 그립니다. 해는 교점의 x값입니다.

$x \approx 12.83601099 + y = 5 + x^{2}$

단계 1.3

$x = 12.83601099$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$x$ 에 $12.83601099$ 를 대입합니다.

$y = 5 + {(12.83601099)}^{2}$

단계 1.3.2

$y = 5 + {(12.83601099)}^{2}$ 에서 $x$ 에 $12.83601099$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

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단계 1.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 5 + {12.83601099}^{2}$

단계 1.3.2.2

괄호를 제거합니다.

$y = 5 + {(12.83601099)}^{2}$

단계 1.3.2.3

$5 + {(12.83601099)}^{2}$ 을 간단히 합니다.

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단계 1.3.2.3.1

$12.83601099$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = 5 + 164.76317813$

단계 1.3.2.3.2

$5$ 를 $164.76317813$ 에 더합니다.

$y = 169.76317813$

단계 1.4

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(12.83601099, 169.76317813)$

단계 2

$5$ 와 $x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = x^{2} + 5$

단계 3

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{2}^{3} x^{2} + 5 d x - \int_{2}^{3} e^{0.4 x} d x$

단계 4

$2$ 과(와) $3$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

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단계 4.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{2}^{3} x^{2} + 5 - (e^{0.4 x}) d x$

단계 4.2

$- 1$ 에 $e^{0.4 x}$ 을 곱합니다.

$\int_{2}^{3} x^{2} + 5 - e^{0.4 x} d x$

단계 4.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{2}^{3} x^{2} d x + \int_{2}^{3} 5 d x + \int_{2}^{3} - e^{0.4 x} d x$

단계 4.4

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} 5 d x + \int_{2}^{3} - e^{0.4 x} d x$

단계 4.5

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} - e^{0.4 x} d x$

단계 4.6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \int_{2}^{3} e^{0.4 x} d x$

단계 4.7

먼저 $u = 0.4 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 0.4 d x$ 이므로 $\frac{1}{0.4} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 4.7.1

$u = 0.4 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 4.7.1.1

$0.4 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [0.4 x]$

단계 4.7.1.2

$0.4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $0.4 x$ 의 미분은 $0.4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0.4 \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0.4 \cdot 1$

단계 4.7.1.4

$0.4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0.4$

단계 4.7.2

$u = 0.4 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0.4 \cdot 2$

단계 4.7.3

$0.4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0.8$

단계 4.7.4

$u = 0.4 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 0.4 \cdot 3$

단계 4.7.5

$0.4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 1.2$

단계 4.7.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0.8$

$u_{upper} = 1.2$

단계 4.7.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \int_{0.8}^{1.2} e^{u} \frac{1}{0.4} d u$

단계 4.8

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{0.4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \int_{0.8}^{1.2} \frac{e^{u}}{0.4} d u$

단계 4.9

$\frac{1}{0.4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{0.4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - (\frac{1}{0.4} \int_{0.8}^{1.2} e^{u} d u)$

단계 4.10

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \frac{1}{0.4} e^{u}]_{0.8}^{1.2}$

단계 4.11

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3}$ 와 $5 x]_{2}^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \frac{1}{0.4} e^{u}]_{0.8}^{1.2}$

단계 4.12

대입하여 간단히 합니다.

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단계 4.12.1

$3$ , $2$ 일 때, $\frac{1}{3} x^{3} + 5 x$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} e^{u}]_{0.8}^{1.2}$

단계 4.12.2

$1.2$ , $0.8$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

단계 4.12.3

간단히 합니다.

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단계 4.12.3.1

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{1}{3} \cdot 27 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

단계 4.12.3.2

$\frac{1}{3}$ 와 $27$ 을 묶습니다.

$\frac{27}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

단계 4.12.3.3

$27$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.12.3.3.1

$27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 9}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

단계 4.12.3.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.12.3.3.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

단계 4.12.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

단계 4.12.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{9}{1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

단계 4.12.3.3.2.4

$9$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$9 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

단계 4.12.3.4

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$9 + 15 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

단계 4.12.3.5

$9$ 를 $15$ 에 더합니다.

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

단계 4.12.3.6

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 8 + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

단계 4.12.3.7

$\frac{1}{3}$ 와 $8$ 을 묶습니다.

$24 - (\frac{8}{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

단계 4.12.3.8

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$24 - (\frac{8}{3} + 10) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

단계 4.12.3.9

공통 분모를 가지는 분수로 $10$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$24 - (\frac{8}{3} + 10 \cdot \frac{3}{3}) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

단계 4.12.3.10

$10$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$24 - (\frac{8}{3} + \frac{10 \cdot 3}{3}) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

단계 4.12.3.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$24 - \frac{8 + 10 \cdot 3}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

단계 4.12.3.12

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.12.3.12.1

$10$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$24 - \frac{8 + 30}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

단계 4.12.3.12.2

$8$ 를 $30$ 에 더합니다.

$24 - \frac{38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

단계 4.12.3.13

공통 분모를 가지는 분수로 $24$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$24 \cdot \frac{3}{3} - \frac{38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

단계 4.12.3.14

$24$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{24 \cdot 3}{3} - \frac{38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

단계 4.12.3.15

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{24 \cdot 3 - 38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

단계 4.12.3.16

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.12.3.16.1

$24$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{72 - 38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

단계 4.12.3.16.2

$72$ 에서 $38$ 을 뺍니다.

$\frac{34}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

단계 4.12.3.17

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{34}{3} - \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8}) \cdot \frac{3}{3}$

단계 4.12.3.18

$- \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{34}{3} + \frac{- \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8}) \cdot 3}{3}$

단계 4.12.3.19

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{34 - \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8}) \cdot 3}{3}$

단계 4.12.3.20

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{34 - 3 (\frac{1}{0.4}) (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

단계 4.12.3.21

$- 3$ 와 $\frac{1}{0.4}$ 을 묶습니다.

$\frac{34 + \frac{- 3}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

단계 4.12.3.22

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{34 - \frac{3}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

단계 4.13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.13.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.13.1.1

$3$ 을 $0.4$ 로 나눕니다.

$\frac{34 - 1 \cdot 7.5 (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

단계 4.13.1.2

$- 1$ 에 $7.5$ 을 곱합니다.

$\frac{34 - 7.5 (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

단계 4.13.1.3

$- 7.5$ 에 $e^{1.2} - e^{0.8}$ 을 곱합니다.

$\frac{34 - 8.20931995}{3}$

단계 4.13.1.4

$34$ 에서 $8.20931995$ 을 뺍니다.

$\frac{25.79068004}{3}$

단계 4.13.2

$25.79068004$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$8.59689334$

단계 5