미적분 예제

$y = x^{\frac{4}{3}}$ , $y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$x^{\frac{4}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$

단계 1.2

$x^{\frac{4}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

두 지수에 최소공분모를 곱하여 분수의 지수를 소거합니다.

${(x^{\frac{4}{3}})}^{3} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

단계 1.2.2

${(x^{\frac{4}{3}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{\frac{4}{3} \cdot 3} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

단계 1.2.2.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$x^{\frac{4}{3} \cdot 3} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

단계 1.2.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{4} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

단계 1.2.3

${(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$2 x^{\frac{1}{3}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x^{4} = 2^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

단계 1.2.3.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$x^{4} = 8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

단계 1.2.3.3

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{4} = 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

단계 1.2.3.3.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$x^{4} = 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

단계 1.2.3.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{4} = 8 x^{1}$

단계 1.2.3.4

간단히 합니다.

$x^{4} = 8 x$

단계 1.2.4

방정식의 양변에서 $8 x$ 를 뺍니다.

$x^{4} - 8 x = 0$

단계 1.2.5

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$x^{4} - 8 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{3} - 8 x = 0$

단계 1.2.5.1.2

$- 8 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{3} + x \cdot - 8 = 0$

단계 1.2.5.1.3

$x \cdot x^{3} + x \cdot - 8$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{3} - 8) = 0$

단계 1.2.5.2

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x (x^{3} - 2^{3}) = 0$

단계 1.2.5.3

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$x ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

단계 1.2.5.4

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.4.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.4.1.1

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

단계 1.2.5.4.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

단계 1.2.5.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

단계 1.2.6

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0 + y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

단계 1.2.7

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 1.2.8

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.8.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 1.2.8.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 1.2.9

$x^{2} + 2 x + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.1

$x^{2} + 2 x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

단계 1.2.9.2

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

단계 1.2.9.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = 2$ , $c = 4$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1} + y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

단계 1.2.9.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.2.3.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.3.1.2.2

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.3.1.3

$4$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.3.1.4

$- 12$ 을 $- 1 (12)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.3.1.7

$12$ 을 $2^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.2.3.1.7.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.3.1.7.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.3.1.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.3.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

단계 1.2.9.2.3.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

단계 1.2.9.2.4

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.2.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.2.4.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.2.4.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.4.1.2.2

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.4.1.3

$4$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.4.1.4

$- 12$ 을 $- 1 (12)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.4.1.7

$12$ 을 $2^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.2.4.1.7.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.4.1.7.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.4.1.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.4.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

단계 1.2.9.2.4.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

단계 1.2.9.2.4.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

단계 1.2.9.2.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.2.5.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.2.5.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.5.1.2.2

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.5.1.3

$4$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.5.1.4

$- 12$ 을 $- 1 (12)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.5.1.7

$12$ 을 $2^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.2.5.1.7.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.5.1.7.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.5.1.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.5.1.9

$i$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

단계 1.2.9.2.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

단계 1.2.9.2.5.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

단계 1.2.9.2.5.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

단계 1.2.9.2.6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

단계 1.2.10

$x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

단계 1.3

$x = 0$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$y = 2 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

단계 1.3.2

$y = 2 {(0)}^{\frac{1}{3}}$ 에서 $x$ 에 $0$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 2 \cdot 0^{\frac{1}{3}}$

단계 1.3.2.2

$2 \cdot 0^{\frac{1}{3}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = 2 \cdot {(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

단계 1.3.2.2.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = 2 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

단계 1.3.2.2.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$y = 2 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

단계 1.3.2.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y = 2 \cdot 0^{1}$

단계 1.3.2.2.3

지수값을 계산합니다.

$y = 2 \cdot 0$

단계 1.3.2.2.4

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = 0$

단계 1.4

$x = 2$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x$ 에 $2$ 를 대입합니다.

$y = 2 {(2)}^{\frac{1}{3}}$

단계 1.4.2

$y = 2 {(2)}^{\frac{1}{3}}$ 에서 $x$ 에 $2$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 2 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

단계 1.4.2.2

지수를 더하여 $2$ 에 $2^{\frac{1}{3}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.2.1

$2$ 에 $2^{\frac{1}{3}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.2.1.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

단계 1.4.2.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = 2^{1 + \frac{1}{3}}$

단계 1.4.2.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y = 2^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

단계 1.4.2.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = 2^{\frac{3 + 1}{3}}$

단계 1.4.2.2.4

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = 2^{\frac{4}{3}}$

단계 1.5

$x$ 에 $- 1 + i \sqrt{3}$ 를 대입합니다.

$y = 2 {(- 1 + i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}$

단계 1.6

$x$ 에 $- 1 - i \sqrt{3}$ 를 대입합니다.

$y = 2 {(- 1 - i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}$

단계 1.7

모든 해를 나열합니다.

$y = 0, x = 0$

$y = 2^{\frac{4}{3}}, x = 2$

$y = 2 {(- 1 + i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 2 {(- 1 - i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = 0, x = 0$

$y = 2^{\frac{4}{3}}, x = 2$

$y = 2 {(- 1 + i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 2 {(- 1 - i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 - i \sqrt{3}$

단계 2

주어진 두 곡선 사이의 넓이는 무한합니다.

무한한 넓이

단계 3