미적분 예제

$y = \frac{3}{x}$ , $x = 7$ , $x = 14$ , $y = 0$

단계 1

입체의 부피를 구하려면, 먼저 조각으로 나누어진 각 부분의 넓이를 정의하고 전체 영역에 대해 적분합니다. 각 부분의 넓이는 원의 넓이, $A = π r^{2}$ 이며 여기에서 반지름은 $f (x)$ 입니다.

$f (x) = \frac{3}{x}$ 일 때 $V = π \int_{7}^{14} {(f (x))}^{2} d x$ 입니다

단계 2

피적분함수를 간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{3}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$V = \frac{3^{2}}{x^{2}}$

단계 2.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$V = \frac{9}{x^{2}}$

단계 3

$9$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $9$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$V = π (9 \int_{7}^{14} \frac{1}{x^{2}} d x)$

단계 4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$π$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$V = 9 π \int_{7}^{14} \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 4.2.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$V = 9 π \int_{7}^{14} {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 4.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$V = 9 π \int_{7}^{14} x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 4.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$V = 9 π \int_{7}^{14} x^{- 2} d x$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$V = 9 π - x^{- 1}]_{7}^{14}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.1

$14$ , $7$ 일 때, $- x^{- 1}$ 값을 계산합니다.

$V = 9 π ((- 14^{- 1}) + 7^{- 1})$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + 7^{- 1})$

단계 6.2.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{1}{7})$

단계 6.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{7}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{1}{7} \cdot \frac{2}{2})$

단계 6.2.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $14$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 6.2.4.1

$\frac{1}{7}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{2}{7 \cdot 2})$

단계 6.2.4.2

$7$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{2}{14})$

단계 6.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$V = 9 π (\frac{- 1 + 2}{14})$

단계 6.2.6

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$V = 9 π (\frac{1}{14})$

단계 6.2.7

$\frac{1}{14}$ 와 $9$ 을 묶습니다.

$V = \frac{9}{14} \cdot π$

단계 6.2.8

$\frac{9}{14}$ 와 $π$ 을 묶습니다.

$V = \frac{9 π}{14}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$V = \frac{9 π}{14}$

소수 형태:

$V = 2.01959527 \dots$

단계 8