미적분 예제

$y^{2} = 2 x$ , $x = 2 y$

단계 1

입체의 부피를 구하려면, 먼저 조각으로 나누어진 각 부분의 넓이를 정의하고 전체 영역에 대해 적분합니다. 각 부분의 넓이는 원의 넓이, $A = π r^{2}$ 이며 여기에서 반지름은 $f (y)$ 입니다.

$f (y) = 2 y$ , $g (y) = \frac{y^{2}}{2}$ 일 때 $V = π \int_{0}^{4} {(f (y))}^{2} - {(g (y))}^{2} d y$ 입니다

단계 2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$2 y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$V = 2^{2} y^{2} - {(\frac{y^{2}}{2})}^{2}$

단계 2.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$V = 4 y^{2} - {(\frac{y^{2}}{2})}^{2}$

단계 2.3

$\frac{y^{2}}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$V = 4 y^{2} - \frac{{(y^{2})}^{2}}{2^{2}}$

단계 2.4

${(y^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{2 \cdot 2}}{2^{2}}$

단계 2.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{4}}{2^{2}}$

단계 2.5

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{4}}{4}$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$V = π (\int_{0}^{4} 4 y^{2} d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

단계 4

$4$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$V = π (4 \int_{0}^{4} y^{2} d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$V = π (4 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

단계 6

$\frac{1}{3}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

단계 7

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} \frac{y^{4}}{4} d y)$

단계 8

$\frac{1}{4}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{4} \cdot \int_{0}^{4} y^{4} d y))$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $y^{4}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} y^{5}$ 가 됩니다.

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} y^{5}]_{0}^{4})$

단계 10

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$\frac{1}{5}$ 와 $y^{5}$ 을 묶습니다.

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot \frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4})$

단계 10.1.2

$\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}}{4})$

단계 10.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$4$ , $0$ 일 때, $\frac{y^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$V = π (4 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}}{4})$

단계 10.2.2

$4$ , $0$ 일 때, $\frac{y^{5}}{5}$ 값을 계산합니다.

$V = π (4 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

단계 10.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.1

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

단계 10.2.3.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

단계 10.2.3.3

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.3.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

단계 10.2.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.3.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

단계 10.2.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

단계 10.2.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

단계 10.2.3.3.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - 0) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

단계 10.2.3.4

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$V = π (4 (\frac{64}{3} + 0) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

단계 10.2.3.5

$\frac{64}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$V = π (4 (\frac{64}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

단계 10.2.3.6

$4$ 와 $\frac{64}{3}$ 을 묶습니다.

$V = π (\frac{4 \cdot 64}{3} - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

단계 10.2.3.7

$4$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

단계 10.2.3.8

$4$ 를 $5$ 승 합니다.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

단계 10.2.3.9

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0}{5}}{4})$

단계 10.2.3.10

$0$ 및 $5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.10.1

$0$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 (0)}{5}}{4})$

단계 10.2.3.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.10.2.1

$5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{4})$

단계 10.2.3.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{4})$

단계 10.2.3.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0}{1}}{4})$

단계 10.2.3.10.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - 0}{4})$

단계 10.2.3.11

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} + 0}{4})$

단계 10.2.3.12

$\frac{1024}{5}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5}}{4})$

단계 10.2.3.13

$\frac{\frac{1024}{5}}{4}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$V = π (\frac{256}{3} - (\frac{1024}{5} \cdot \frac{1}{4}))$

단계 10.2.3.14

$\frac{1024}{5}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{1024}{5 \cdot 4})$

단계 10.2.3.15

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{1024}{20})$

단계 10.2.3.16

$1024$ 및 $20$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.16.1

$1024$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 (256)}{20})$

단계 10.2.3.16.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.16.2.1

$20$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 \cdot 256}{4 \cdot 5})$

단계 10.2.3.16.2.2

공약수로 약분합니다.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 \cdot 256}{4 \cdot 5})$

단계 10.2.3.16.2.3

수식을 다시 씁니다.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{256}{5})$

단계 10.2.3.17

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{256}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{256}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{256}{5})$

단계 10.2.3.18

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{256}{5}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{256}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

단계 10.2.3.19

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $15$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.19.1

$\frac{256}{3}$ 에 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

단계 10.2.3.19.2

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

단계 10.2.3.19.3

$\frac{256}{5}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256 \cdot 3}{5 \cdot 3})$

단계 10.2.3.19.4

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256 \cdot 3}{15})$

단계 10.2.3.20

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$V = π (\frac{256 \cdot 5 - 256 \cdot 3}{15})$

단계 10.2.3.21

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.3.21.1

$256$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{1280 - 256 \cdot 3}{15})$

단계 10.2.3.21.2

$- 256$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$V = π (\frac{1280 - 768}{15})$

단계 10.2.3.21.3

$1280$ 에서 $768$ 을 뺍니다.

$V = π (\frac{512}{15})$

단계 10.2.3.22

$π$ 와 $\frac{512}{15}$ 을 묶습니다.

$V = \frac{π \cdot 512}{15}$

단계 10.2.3.23

$π$ 의 왼쪽으로 $512$ 이동하기

$V = \frac{512 π}{15}$

단계 11

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$V = \frac{512 π}{15}$

소수 형태:

$V = 107.23302924 \dots$

단계 12