미적분 예제

$2 y^{2} - \sqrt{x} = 28$ , $(16, 4)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 16$ , $y = 4$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$2 y^{2} - x^{\frac{1}{2}} = 28$

단계 1.2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (2 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (28)$

단계 1.3

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

합의 법칙에 의해 $2 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3.2

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 y^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3.2.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3.2.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3.2.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3.3

$\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$4 y y' - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3.3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 1.3.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 1.3.3.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.3.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.3.3.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

단계 1.3.3.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

단계 1.3.3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

단계 1.3.3.8

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$4 y y' - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 1.3.3.9

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$4 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.4

$28$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $28$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $28$ 입니다.

$0$

단계 1.5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$4 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 1.6

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

방정식의 양변에 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 를 더합니다.

$4 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.6.2

$4 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 의 각 항을 $4 y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.2.1

$4 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 의 각 항을 $4 y$ 로 나눕니다.

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

단계 1.6.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

단계 1.6.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

단계 1.6.2.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

단계 1.6.2.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

단계 1.6.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.6.2.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{4 y}$

단계 1.6.2.3.2

조합합니다.

$y' = \frac{1 \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (4 y)}$

단계 1.6.2.3.3

식을 간단히 합니다.

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단계 1.6.2.3.3.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 y}$

단계 1.6.2.3.3.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{1}{8 x^{\frac{1}{2}} y}$

단계 1.6.2.3.3.3

$\frac{1}{8 x^{\frac{1}{2}} y}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = \frac{1}{8 y x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.7

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{8 y x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.8

$y = 4$ 와 $x = 16$ 값을 구합니다.

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단계 1.8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $16$ 을 대입합니다.

$\frac{1}{8 y {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.8.2

수식에서 변수 $y$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$\frac{1}{8 (4) {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.8.3

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.8.3.1

$8$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{32 \cdot 16^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.8.3.2

$32$ 을 $2^{5}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2^{5} \cdot 16^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.8.3.3

$16$ 을 $2^{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2^{5} \cdot {(2^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.8.3.4

${(2^{4})}^{\frac{1}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.3.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{4 (\frac{1}{2})}}$

단계 1.8.3.4.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.3.4.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{2 (2) \frac{1}{2}}}$

단계 1.8.3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}}$

단계 1.8.3.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{2}}$

단계 1.8.3.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2^{5 + 2}}$

단계 1.8.3.6

$5$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2^{7}}$

단계 1.8.4

$2$ 를 $7$ 승 합니다.

$\frac{1}{128}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $\frac{1}{128}$ 과 주어진 점 $(16, 4)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (4) = \frac{1}{128} \cdot (x - (16))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 4 = \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\frac{1}{128} \cdot (x - 16)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 4 = \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 4 = \frac{1}{128} x + \frac{1}{128} \cdot - 16$

단계 2.3.1.4

$\frac{1}{128}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{128} \cdot - 16$

단계 2.3.1.5

$16$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.5.1

$128$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 (8)} \cdot - 16$

단계 2.3.1.5.2

$- 16$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

단계 2.3.1.5.3

공약수로 약분합니다.

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

단계 2.3.1.5.4

수식을 다시 씁니다.

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{8} \cdot - 1$

단계 2.3.1.6

$\frac{1}{8}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{- 1}{8}$

단계 2.3.1.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y - 4 = \frac{x}{128} - \frac{1}{8}$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + 4$

단계 2.3.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $4$ 을 표현하기 위해 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{8}{8}$

단계 2.3.2.3

$4$ 와 $\frac{8}{8}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + \frac{4 \cdot 8}{8}$

단계 2.3.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{x}{128} + \frac{- 1 + 4 \cdot 8}{8}$

단계 2.3.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.5.1

$4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x}{128} + \frac{- 1 + 32}{8}$

단계 2.3.2.5.2

$- 1$ 를 $32$ 에 더합니다.

$y = \frac{x}{128} + \frac{31}{8}$

단계 2.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{1}{128} x + \frac{31}{8}$

단계 3