미적분 예제

$y = \frac{8}{\sin (x) + \cos (x)}$ , $(0, 8)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 0$ , $y = 8$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{8}{\sin (x) + \cos (x)}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$ 입니다.

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$

단계 1.1.2

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ 을 ${(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$8 \frac{d}{d x} [{(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}]$

단계 1.2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sin (x) + \cos (x)$ 로 바꿉니다.

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

단계 1.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $\sin (x) + \cos (x)$ 로 바꿉니다.

$8 (- {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

단계 1.3

합의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- 8 ({(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $\sin (x) + \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 가 됩니다.

$- 8 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 1.4

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$- 8 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 1.5

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- 8 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) - \sin (x))$

단계 1.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 8 \frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

단계 1.7

간단히 합니다.

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단계 1.7.1

항을 묶습니다.

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단계 1.7.1.1

$- 8$ 와 $\frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

단계 1.7.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

단계 1.7.2

$- \frac{8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- (\cos (x) - \sin (x)) \frac{8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 1.8

$x = 0$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{{(\sin (0) + \cos (0))}^{2}}$

단계 1.9

간단히 합니다.

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단계 1.9.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.9.1.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{{(0 + \cos (0))}^{2}}$

단계 1.9.1.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{{(0 + 1)}^{2}}$

단계 1.9.1.3

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{1^{2}}$

단계 1.9.1.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{1}$

단계 1.9.2

항을 간단히 합니다.

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단계 1.9.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.9.2.1.1

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$- (1 - \sin (0)) \frac{8}{1}$

단계 1.9.2.1.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$- (1 - 0) \frac{8}{1}$

단계 1.9.2.1.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- (1 + 0) \frac{8}{1}$

단계 1.9.2.2

식을 간단히 합니다.

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단계 1.9.2.2.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 1 \cdot 1 \frac{8}{1}$

단계 1.9.2.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 (\frac{8}{1})$

단계 1.9.2.2.3

$8$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1 \cdot 8$

단계 1.9.2.2.4

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- 8$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $- 8$ 과 주어진 점 $(0, 8)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (8) = - 8 \cdot (x - (0))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 8 = - 8 \cdot (x + 0)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y - 8 = - 8 x$

단계 2.3.2

방정식의 양변에 $8$ 를 더합니다.

$y = - 8 x + 8$

단계 3