미적분 예제

$y = \frac{3 x}{{(2 x - 5)}^{2}}$ , $(2, 6)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 2$ , $y = 6$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3 x}{{(2 x - 5)}^{2}}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 5)}^{2}}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 5)}^{2}}]$

단계 1.2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(2 x - 5)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{({(2 x - 5)}^{2})}^{2}}$

단계 1.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1

${({(2 x - 5)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{2 \cdot 2}}$

단계 1.3.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

단계 1.3.3

${(2 x - 5)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

단계 1.4

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 2 x - 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x - 5$ 로 바꿉니다.

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

단계 1.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

단계 1.4.3

$u$ 를 모두 $2 x - 5$ 로 바꿉니다.

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (2 (2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

단계 1.5

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

단계 1.5.2

${(2 x - 5)}^{2} - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])$ 에서 $2 x - 5$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.5.2.1

${(2 x - 5)}^{2}$ 에서 $2 x - 5$ 를 인수분해합니다.

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5) - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

단계 1.5.2.2

$- 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])$ 에서 $2 x - 5$ 를 인수분해합니다.

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5) + (2 x - 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{{(2 x - 5)}^{4}}$

단계 1.5.2.3

$(2 x - 5) (2 x - 5) + (2 x - 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))$ 에서 $2 x - 5$ 를 인수분해합니다.

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{{(2 x - 5)}^{4}}$

단계 1.6

공약수로 약분합니다.

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단계 1.6.1

${(2 x - 5)}^{4}$ 에서 $2 x - 5$ 를 인수분해합니다.

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{(2 x - 5) {(2 x - 5)}^{3}}$

단계 1.6.2

공약수로 약분합니다.

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{(2 x - 5) {(2 x - 5)}^{3}}$

단계 1.6.3

수식을 다시 씁니다.

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

단계 1.7

합의 법칙에 의해 $2 x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

단계 1.8

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

단계 1.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

단계 1.10

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

단계 1.11

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 + 0)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

단계 1.12

항을 간단히 합니다.

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단계 1.12.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x \cdot 2}{{(2 x - 5)}^{3}}$

단계 1.12.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$3 \frac{2 x - 5 - 4 x}{{(2 x - 5)}^{3}}$

단계 1.12.3

$2 x$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$3 \frac{- 2 x - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

단계 1.12.4

$3$ 와 $\frac{- 2 x - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 (- 2 x - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

단계 1.13

간단히 합니다.

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단계 1.13.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (- 2 x) + 3 \cdot - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

단계 1.13.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.13.2.1

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6 x + 3 \cdot - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

단계 1.13.2.2

$3$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6 x - 15}{{(2 x - 5)}^{3}}$

단계 1.13.3

$- 6 x - 15$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.13.3.1

$- 6 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- 2 x) - 15}{{(2 x - 5)}^{3}}$

단계 1.13.3.2

$- 15$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- 2 x) + 3 (- 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

단계 1.13.3.3

$3 (- 2 x) + 3 (- 5)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- 2 x - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

단계 1.13.4

$- 2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- (2 x) - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

단계 1.13.5

$- 5$ 을 $- 1 (5)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 (- (2 x) - 1 (5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

단계 1.13.6

$- (2 x) - 1 (5)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- (2 x + 5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

단계 1.13.7

$- (2 x + 5)$ 을 $- 1 (2 x + 5)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 (- 1 (2 x + 5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

단계 1.13.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3 (2 x + 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

단계 1.14

$x = 2$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$- \frac{3 (2 (2) + 5)}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

단계 1.15

간단히 합니다.

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단계 1.15.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.15.1.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{3 (4 + 5)}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

단계 1.15.1.2

$4$ 를 $5$ 에 더합니다.

$- \frac{3 \cdot 9}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

단계 1.15.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.15.2.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{3 \cdot 9}{{(4 - 5)}^{3}}$

단계 1.15.2.2

$4$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$- \frac{3 \cdot 9}{{(- 1)}^{3}}$

단계 1.15.2.3

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$- \frac{3 \cdot 9}{- 1}$

단계 1.15.3

식을 간단히 합니다.

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단계 1.15.3.1

$3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$- \frac{27}{- 1}$

단계 1.15.3.2

$27$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$- - 27$

단계 1.15.3.3

$- 1$ 에 $- 27$ 을 곱합니다.

$27$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $27$ 과 주어진 점 $(2, 6)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (6) = 27 \cdot (x - (2))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 6 = 27 \cdot (x - 2)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$27 \cdot (x - 2)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 6 = 0 + 0 + 27 \cdot (x - 2)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 6 = 27 \cdot (x - 2)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 6 = 27 x + 27 \cdot - 2$

단계 2.3.1.4

$27$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y - 6 = 27 x - 54$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $6$ 를 더합니다.

$y = 27 x - 54 + 6$

단계 2.3.2.2

$- 54$ 를 $6$ 에 더합니다.

$y = 27 x - 48$

단계 3