미적분 예제

$y = \frac{2 x + 1}{x + 2}$ , $(1, 1)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 1$ , $y = 1$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = 2 x + 1$ , $g (x) = x + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.2.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.2.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.2.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(x + 2) (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.2.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x + 2) \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.2.6.2

$x + 2$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot (x + 2) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.2.7

합의 법칙에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.2.9

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.2.10

식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.10.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.2.10.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1)}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x + 2 \cdot 2 - (2 x + 1)}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x + 2 \cdot 2 - (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.3.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.3.1.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x + 4 - (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x + 4 - 2 x - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x + 4 - 2 x - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.3.3.2

$2 x + 4 - 2 x - 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 1.3.3.2.1

$2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\frac{0 + 4 - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.3.3.2.2

$0$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{4 - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.3.3.3

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 1.4

$x = 1$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\frac{3}{{((1) + 2)}^{2}}$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.5.1.1

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{3}{3^{2}}$

단계 1.5.1.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{3}{9}$

단계 1.5.2

$3$ 및 $9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (1)}{9}$

단계 1.5.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.2.2.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

단계 1.5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

단계 1.5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $\frac{1}{3}$ 과 주어진 점 $(1, 1)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (1) = \frac{1}{3} \cdot (x - (1))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 1 = \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$\frac{1}{3} \cdot (x - 1)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 1 = \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 1 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 1$

단계 2.3.1.4

$\frac{1}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y - 1 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1$

단계 2.3.1.5

$\frac{1}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$y - 1 = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

단계 2.3.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y - 1 = \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + 1$

단계 2.3.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

단계 2.3.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 1 + 3}{3}$

단계 2.3.2.4

$- 1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

단계 2.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}$

단계 3