미적분 예제

$x^{2} + 4 x y + y^{2} = 13$ , $(2, 1)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 2$ , $y = 1$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (13)$

단계 1.2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 4 x y + y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 1.2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 1.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x y$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x y]$ 입니다.

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 1.2.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 1.2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x + 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 1.2.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 1.2.2.5

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x + 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 1.2.3

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$2 x + 4 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

단계 1.2.3.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + 4 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

단계 1.2.3.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$2 x + 4 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

단계 1.2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x + 4 (x y' + y) + 2 y y'$

단계 1.2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x + 4 (x y') + 4 y + 2 y y'$

단계 1.2.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$2 x + 4 x y' + 4 y + 2 y y'$

단계 1.2.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$4 x y' + 2 y y' + 2 x + 4 y$

단계 1.3

$13$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $13$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $13$ 입니다.

$0$

단계 1.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$4 x y' + 2 y y' + 2 x + 4 y = 0$

단계 1.5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.1

방정식의 양변에서 $2 x$ 를 뺍니다.

$4 x y' + 2 y y' + 4 y = - 2 x$

단계 1.5.1.2

방정식의 양변에서 $4 y$ 를 뺍니다.

$4 x y' + 2 y y' = - 2 x - 4 y$

단계 1.5.2

$4 x y' + 2 y y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

$4 x y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' (2 x) + 2 y y' = - 2 x - 4 y$

단계 1.5.2.2

$2 y y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' (2 x) + 2 y' y = - 2 x - 4 y$

단계 1.5.2.3

$2 y' (2 x) + 2 y' y$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' (2 x + y) = - 2 x - 4 y$

단계 1.5.3

$2 y' (2 x + y) = - 2 x - 4 y$ 의 각 항을 $2 (2 x + y)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

$2 y' (2 x + y) = - 2 x - 4 y$ 의 각 항을 $2 (2 x + y)$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y' (2 x + y)}{2 (2 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

단계 1.5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y' (2 x + y)}{2 (2 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

단계 1.5.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (2 x + y)}{2 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

단계 1.5.3.2.2

$2 x + y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (2 x + y)}{2 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

단계 1.5.3.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 2 x}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

단계 1.5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.1.1

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.1.1.1

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

단계 1.5.3.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

단계 1.5.3.3.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{- x}{2 x + y} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

단계 1.5.3.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{x}{2 x + y} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

단계 1.5.3.3.1.3

$- 4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.1.3.1

$- 4 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \frac{x}{2 x + y} + \frac{2 (- 2 y)}{2 (2 x + y)}$

단계 1.5.3.3.1.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = - \frac{x}{2 x + y} + \frac{2 (- 2 y)}{2 (2 x + y)}$

단계 1.5.3.3.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = - \frac{x}{2 x + y} + \frac{- 2 y}{2 x + y}$

단계 1.5.3.3.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{x}{2 x + y} - \frac{2 y}{2 x + y}$

단계 1.5.3.3.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- x - 2 y}{2 x + y}$

단계 1.5.3.3.2.2

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (x) - 2 y}{2 x + y}$

단계 1.5.3.3.2.3

$- 2 y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (x) - (2 y)}{2 x + y}$

단계 1.5.3.3.2.4

$- (x) - (2 y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (x + 2 y)}{2 x + y}$

단계 1.5.3.3.2.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.2.5.1

$- (x + 2 y)$ 을 $- 1 (x + 2 y)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{- 1 (x + 2 y)}{2 x + y}$

단계 1.5.3.3.2.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{x + 2 y}{2 x + y}$

단계 1.6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 2 y}{2 x + y}$

단계 1.7

$y = 1$ 와 $x = 2$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$- \frac{(2) + 2 y}{2 (2) + y}$

단계 1.7.2

수식에서 변수 $y$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$- \frac{(2) + 2 (1)}{2 (2) + 1}$

단계 1.7.3

괄호를 제거합니다.

$- \frac{(2) + 2 (1)}{2 (2) + 1}$

단계 1.7.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 + 2}{2 (2) + 1}$

단계 1.7.4.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \frac{4}{2 (2) + 1}$

단계 1.7.5

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.5.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{4}{4 + 1}$

단계 1.7.5.2

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{4}{5}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

기울기 $- \frac{4}{5}$ 과 주어진 점 $(2, 1)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (1) = - \frac{4}{5} \cdot (x - (2))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 1 = - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 1 = - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 1 = - \frac{4}{5} x - \frac{4}{5} \cdot - 2$

단계 2.3.1.4

$x$ 와 $\frac{4}{5}$ 을 묶습니다.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} - \frac{4}{5} \cdot - 2$

단계 2.3.1.5

$- \frac{4}{5} \cdot - 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.5.1

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + 2 (\frac{4}{5})$

단계 2.3.1.5.2

$2$ 와 $\frac{4}{5}$ 을 묶습니다.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{2 \cdot 4}{5}$

단계 2.3.1.5.3

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{8}{5}$

단계 2.3.1.6

$x$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$y - 1 = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5}$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5} + 1$

단계 2.3.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5} + \frac{5}{5}$

단계 2.3.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8 + 5}{5}$

단계 2.3.2.4

$8$ 를 $5$ 에 더합니다.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{13}{5}$

단계 2.3.3

$y = m x + b$ 형태로 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

항을 다시 정렬합니다.

$y = - (\frac{4}{5} x) + \frac{13}{5}$

단계 2.3.3.2

괄호를 제거합니다.

$y = - \frac{4}{5} x + \frac{13}{5}$

단계 3