미적분 예제

$x^{2} + x y - y^{2} = 11$ , $(3, 1)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 3$ , $y = 1$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y - y^{2}) = \frac{d}{d x} (11)$

단계 1.2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 1.2.1

미분합니다.

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단계 1.2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + x y - y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

단계 1.2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

단계 1.2.2

$\frac{d}{d x} [x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

단계 1.2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

단계 1.2.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

단계 1.2.2.4

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

단계 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- y^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 입니다.

$2 x + x y' + y - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 1.2.3.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$2 x + x y' + y - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

단계 1.2.3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + x y' + y - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

단계 1.2.3.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$2 x + x y' + y - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

단계 1.2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x + x y' + y - (2 y y')$

단계 1.2.3.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 x + x y' + y - 2 y y'$

단계 1.2.4

항을 다시 정렬합니다.

$x y' - 2 y y' + 2 x + y$

단계 1.3

$11$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $11$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $11$ 입니다.

$0$

단계 1.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$x y' - 2 y y' + 2 x + y = 0$

단계 1.5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.5.1

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 1.5.1.1

방정식의 양변에서 $2 x$ 를 뺍니다.

$x y' - 2 y y' + y = - 2 x$

단계 1.5.1.2

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$x y' - 2 y y' = - 2 x - y$

단계 1.5.2

$x y' - 2 y y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.5.2.1

$x y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' x - 2 y y' = - 2 x - y$

단계 1.5.2.2

$- 2 y y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x) + y' (- 2 y) = - 2 x - y$

단계 1.5.2.3

$y' (x) + y' (- 2 y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x - 2 y) = - 2 x - y$

단계 1.5.3

$y' (x - 2 y) = - 2 x - y$ 의 각 항을 $x - 2 y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.5.3.1

$y' (x - 2 y) = - 2 x - y$ 의 각 항을 $x - 2 y$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (x - 2 y)}{x - 2 y} = \frac{- 2 x}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

단계 1.5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 1.5.3.2.1

$x - 2 y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (x - 2 y)}{x - 2 y} = \frac{- 2 x}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

단계 1.5.3.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 2 x}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

단계 1.5.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.5.3.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x - 2 y}$

단계 1.5.3.3.2

$- 2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x - 2 y}$

단계 1.5.3.3.3

$- y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x - 2 y}$

단계 1.5.3.3.4

$- (2 x) - (y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x - 2 y}$

단계 1.5.3.3.5

식을 간단히 합니다.

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단계 1.5.3.3.5.1

$- (2 x + y)$ 을 $- 1 (2 x + y)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x - 2 y}$

단계 1.5.3.3.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{2 x + y}{x - 2 y}$

단계 1.6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x - 2 y}$

단계 1.7

$y = 1$ 와 $x = 3$ 값을 구합니다.

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단계 1.7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$- \frac{2 (3) + y}{(3) - 2 y}$

단계 1.7.2

수식에서 변수 $y$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$- \frac{2 (3) + 1}{(3) - 2 \cdot 1}$

단계 1.7.3

괄호를 제거합니다.

$- \frac{2 (3) + 1}{(3) - 2 \cdot 1}$

단계 1.7.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.7.4.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{6 + 1}{3 - 2 \cdot 1}$

단계 1.7.4.2

$6$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{7}{3 - 2 \cdot 1}$

단계 1.7.5

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.7.5.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{7}{3 - 2}$

단계 1.7.5.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- \frac{7}{1}$

단계 1.7.6

식을 간단히 합니다.

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단계 1.7.6.1

$7$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1 \cdot 7$

단계 1.7.6.2

$- 1$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$- 7$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $- 7$ 과 주어진 점 $(3, 1)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (1) = - 7 \cdot (x - (3))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 1 = - 7 \cdot (x - 3)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$- 7 \cdot (x - 3)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 1 = 0 + 0 - 7 \cdot (x - 3)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 1 = - 7 \cdot (x - 3)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 1 = - 7 x - 7 \cdot - 3$

단계 2.3.1.4

$- 7$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$y - 1 = - 7 x + 21$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$y = - 7 x + 21 + 1$

단계 2.3.2.2

$21$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = - 7 x + 22$

단계 3