미적분 예제

$\sin (y) = 5 x^{4} - 5$ , $(1, π)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 1$ , $y = π$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (\sin (y)) = \frac{d}{d x} (5 x^{4} - 5)$

단계 1.2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 1.2.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

단계 1.2.1.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$\cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

단계 1.2.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$\cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

단계 1.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (y) y'$

단계 1.3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 1.3.1

합의 법칙에 의해 $5 x^{4} - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.3.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.2.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{4}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.3.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.3.2.3

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.3.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.3.1

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$20 x^{3} + 0$

단계 1.3.3.2

$20 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$20 x^{3}$

단계 1.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$\cos (y) y' = 20 x^{3}$

단계 1.5

$\cos (y) y' = 20 x^{3}$ 의 각 항을 $\cos (y)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$\cos (y) y' = 20 x^{3}$ 의 각 항을 $\cos (y)$ 로 나눕니다.

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

단계 1.5.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 1.5.2.1

$\cos (y)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

단계 1.5.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

단계 1.6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

단계 1.7

$y = π$ 와 $x = 1$ 값을 구합니다.

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단계 1.7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{20 {(1)}^{3}}{\cos (y)}$

단계 1.7.2

수식에서 변수 $y$ 에 $π$ 을 대입합니다.

$\frac{20 {(1)}^{3}}{\cos (π)}$

단계 1.7.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{20 \cdot 1}{\cos (π)}$

단계 1.7.4

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.7.4.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$\frac{20 \cdot 1}{- \cos (0)}$

단계 1.7.4.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{20 \cdot 1}{- 1 \cdot 1}$

단계 1.7.4.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{20 \cdot 1}{- 1}$

단계 1.7.5

식을 간단히 합니다.

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단계 1.7.5.1

$20$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{20}{- 1}$

단계 1.7.5.2

$20$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$- 20$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $- 20$ 과 주어진 점 $(1, π)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (π) = - 20 \cdot (x - (1))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - π = - 20 \cdot (x - 1)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$- 20 \cdot (x - 1)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - π = 0 + 0 - 20 \cdot (x - 1)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - π = - 20 \cdot (x - 1)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - π = - 20 x - 20 \cdot - 1$

단계 2.3.1.4

$- 20$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - π = - 20 x + 20$

단계 2.3.2

방정식의 양변에 $π$ 를 더합니다.

$y = - 20 x + 20 + π$

단계 3