미적분 예제

$x^{2} y^{2} = 49$ , $(1, 7)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 1$ , $y = 7$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (49)$

단계 1.2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

단계 1.2.6

$y^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

단계 1.3

$49$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $49$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $49$ 입니다.

$0$

단계 1.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x = 0$

단계 1.5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

방정식의 양변에서 $2 y^{2} x$ 를 뺍니다.

$2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$

단계 1.5.2

$2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$ 의 각 항을 $2 x^{2} y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

$2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$ 의 각 항을 $2 x^{2} y$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

단계 1.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

단계 1.5.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

단계 1.5.2.2.2

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

단계 1.5.2.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

단계 1.5.2.2.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

단계 1.5.2.2.3.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

단계 1.5.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.3.1

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.3.1.1

$- 2 y^{2} x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 x^{2} y}$

단계 1.5.2.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.3.1.2.1

$2 x^{2} y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)}$

단계 1.5.2.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)}$

단계 1.5.2.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x^{2} y}$

단계 1.5.2.3.2

$y^{2}$ 및 $y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.3.2.1

$- y^{2} x$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y (- y x)}{x^{2} y}$

단계 1.5.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.3.2.2.1

$x^{2} y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}}$

단계 1.5.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}}$

단계 1.5.2.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{- y x}{x^{2}}$

단계 1.5.2.3.3

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.3.3.1

$- y x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{x (- y)}{x^{2}}$

단계 1.5.2.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.3.3.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x}$

단계 1.5.2.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x}$

단계 1.5.2.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{- y}{x}$

단계 1.5.2.3.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{y}{x}$

단계 1.6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

단계 1.7

$y = 7$ 와 $x = 1$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$- \frac{y}{1}$

단계 1.7.2

수식에서 변수 $y$ 에 $7$ 을 대입합니다.

$- \frac{7}{1}$

단계 1.7.3

$7$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1 \cdot 7$

단계 1.7.4

$- 1$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$- 7$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

기울기 $- 7$ 과 주어진 점 $(1, 7)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (7) = - 7 \cdot (x - (1))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 7 = - 7 \cdot (x - 1)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 7 \cdot (x - 1)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 7 = 0 + 0 - 7 \cdot (x - 1)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 7 = - 7 \cdot (x - 1)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 7 = - 7 x - 7 \cdot - 1$

단계 2.3.1.4

$- 7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - 7 = - 7 x + 7$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $7$ 를 더합니다.

$y = - 7 x + 7 + 7$

단계 2.3.2.2

$7$ 를 $7$ 에 더합니다.

$y = - 7 x + 14$

단계 3