미적분 예제

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

단계 1

$x$ 가 $\frac{π}{3}$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

단계 2

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

단계 3

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $\cos^{2} (x)$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2 {(lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x))}^{2} + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

단계 4

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

단계 5

$3$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + 3 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

단계 6

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

단계 7

$x$ 가 $\frac{π}{3}$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - 1 \cdot 2}{2 \cos (x) - 1}$

단계 8

$x$ 가 있는 모든 곳에 $\frac{π}{3}$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 8.1

$x$ 에 $\frac{π}{3}$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - 1 \cdot 2}{2 \cos (x) - 1}$

단계 8.2

$x$ 에 $\frac{π}{3}$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 1 \cdot 2}{2 \cos (x) - 1}$

단계 9

답을 간단히 합니다.

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단계 9.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.1.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 9.1.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ 이고 합이 $b = 3$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 9.1.1.1.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

단계 9.1.1.1.2

$3 \cos (\frac{π}{3})$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 (\cos (\frac{π}{3})) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

단계 9.1.1.1.3

$3$ 를 $- 1$ + $4$ 로 다시 씁니다.

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + (- 1 + 4) \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

단계 9.1.1.1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) - 1 \cos (\frac{π}{3}) + 4 \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

단계 9.1.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 9.1.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) - 1 \cos (\frac{π}{3})) + 4 \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

단계 9.1.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{\cos (\frac{π}{3}) (2 \cos (\frac{π}{3}) - 1) + 2 (2 \cos (\frac{π}{3}) - 1)}{2 \cos (x) - 1}$

단계 9.1.1.3

최대공약수 $2 \cos (\frac{π}{3}) - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(2 \cos (\frac{π}{3}) - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

단계 9.1.2

$\cos (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

단계 9.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

단계 9.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(1 - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

단계 9.1.4

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{0 (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

단계 9.1.5

$\cos (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$\frac{0 (\frac{1}{2} + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

단계 9.1.6

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{0 (\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})}{2 \cos (x) - 1}$

단계 9.1.7

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{0 (\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})}{2 \cos (x) - 1}$

단계 9.1.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{0 \frac{1 + 2 \cdot 2}{2}}{2 \cos (x) - 1}$

단계 9.1.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.1.9.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{0 \frac{1 + 4}{2}}{2 \cos (x) - 1}$

단계 9.1.9.2

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{0 (\frac{5}{2})}{2 \cos (x) - 1}$

단계 9.2

$0$ 에 $\frac{5}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{2 \cos (x) - 1}$

단계 9.3

$0$ 을 $2 \cos (x) - 1$ 로 나눕니다.

$0$