미적분 예제

$y = \sin (7 x) + \sin^{2} (7 x)$ , $(0, 0)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 0$ , $y = 0$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $\sin (7 x) + \sin^{2} (7 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sin (7 x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (7 x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 7 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $7 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

단계 1.2.1.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

단계 1.2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $7 x$ 로 바꿉니다.

$\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

단계 1.2.2

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

단계 1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (7 x) (7 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

단계 1.2.4

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (7 x) \cdot 7 + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

단계 1.2.5

$\cos (7 x)$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$7 \cos (7 x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (7 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sin (7 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sin (7 x)$ 로 바꿉니다.

$7 \cos (7 x) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

단계 1.3.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 \cos (7 x) + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

단계 1.3.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (7 x)$ 로 바꿉니다.

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

단계 1.3.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 7 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $7 x$ 로 바꿉니다.

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [7 x])$

단계 1.3.2.2

$\sin (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{3})$ 입니다.

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [7 x])$

단계 1.3.2.3

$u_{3}$ 를 모두 $7 x$ 로 바꿉니다.

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

단계 1.3.3

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) (7 \cdot 1))$

단계 1.3.5

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (\cos (7 x) \cdot 7)$

단계 1.3.6

$\cos (7 x)$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$7 \cos (7 x) + 2 \sin (7 x) (7 \cdot \cos (7 x))$

단계 1.3.7

$7$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$7 \cos (7 x) + 14 \sin (7 x) \cos (7 x)$

단계 1.4

항을 다시 정렬합니다.

$14 \cos (7 x) \sin (7 x) + 7 \cos (7 x)$

단계 1.5

$x = 0$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$14 \cos (7 (0)) \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

단계 1.6

간단히 합니다.

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단계 1.6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.6.1.1

$7$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$14 \cos (0) \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

단계 1.6.1.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$14 \cdot 1 \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

단계 1.6.1.3

$14$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$14 \sin (7 (0)) + 7 \cos (7 (0))$

단계 1.6.1.4

$7$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$14 \sin (0) + 7 \cos (7 (0))$

단계 1.6.1.5

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$14 \cdot 0 + 7 \cos (7 (0))$

단계 1.6.1.6

$14$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 7 \cos (7 (0))$

단계 1.6.1.7

$7$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 7 \cos (0)$

단계 1.6.1.8

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$0 + 7 \cdot 1$

단계 1.6.1.9

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 7$

단계 1.6.2

$0$ 를 $7$ 에 더합니다.

$7$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $7$ 과 주어진 점 $(0, 0)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (0) = 7 \cdot (x - (0))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y + 0 = 7 \cdot (x + 0)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = 7 \cdot (x + 0)$

단계 2.3.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = 7 x$

단계 3