미적분 예제

$y = \ln (x^{2})$ , $(2, \ln (4))$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 2$ , $y = \ln (4)$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

단계 1.2.2

항을 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{x^{2}} x$

단계 1.2.2.2

$\frac{2}{x^{2}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x}{x^{2}}$

단계 1.2.2.3

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.2.3.1

$2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

단계 1.2.2.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.2.3.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

단계 1.2.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

단계 1.2.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{x}$

단계 1.3

$x = 2$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\frac{2}{2}$

단계 1.4

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$1$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $1$ 과 주어진 점 $(2, \ln (4))$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (\ln (4)) = 1 \cdot (x - (2))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - \ln (4) = 1 \cdot (x - 2)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$x - 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y - \ln (4) = x - 2$

단계 2.3.2

방정식의 양변에 $\ln (4)$ 를 더합니다.

$y = x - 2 + \ln (4)$

단계 3