미적분 예제

$y = 3 x - 2 \sqrt{x}$ , $(1, 1)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 1$ , $y = 1$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $3 x - 2 \sqrt{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$

단계 1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$

단계 1.2.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$3 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3.2

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$3 - 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3.3

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 1.3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 1.3.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.3.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.3.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

단계 1.3.7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

단계 1.3.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

단계 1.3.9

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$3 - 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 1.3.10

$- 2$ 와 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$3 + \frac{- 2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 1.3.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$3 + \frac{- 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.3.12

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$3 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.3.13

공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.13.1

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$3 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

단계 1.3.13.2

공약수로 약분합니다.

$3 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.3.13.3

수식을 다시 씁니다.

$3 + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.3.14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.4

$x = 1$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$3 - \frac{1}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.5.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$3 - \frac{1}{1}$

단계 1.5.1.2

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$3 - \frac{1}{1}$

단계 1.5.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$3 - 1 \cdot 1$

단계 1.5.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 - 1$

단계 1.5.2

$3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$2$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $2$ 과 주어진 점 $(1, 1)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (1) = 2 \cdot (x - (1))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 1 = 2 \cdot (x - 1)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$2 \cdot (x - 1)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 1 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 1)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 1 = 2 \cdot (x - 1)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 1 = 2 x + 2 \cdot - 1$

단계 2.3.1.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - 1 = 2 x - 2$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$y = 2 x - 2 + 1$

단계 2.3.2.2

$- 2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = 2 x - 1$

단계 3